三角関数の２乗の差の公式は、 「単位ベクトルの要素の２乗の差の公式」 と同じものです。 【問１】以下の公式を証明せよ 【問２】以下の公式を証明せよ これらの問題の解答は、ここをクリックした先にあります。 式の変形の過程で以上の形の式が出てきたら…

【三角関数の合成の公式】 すなわち、以下の式： の変形の公式は、加法定理の一種です。 この式の係数： とあらわせます。 そして、式１は以下の式に変形できます。 この式はｓｉｎの加法定理であるので、以下の式になります。 このように、ａ・ｓｉｎθ＋ｂ…

【難問】三角形ＡＢＣにおいて、 ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ≦（１／８） （式１） を証明せよ。そして、△ＡＢＣが正三角形のときのみに等号が成り立つことを示せ。 （予備知識） 加法定理（２倍角と半角の公式）を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そ…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 ２倍角の公式は、加法定理の２つの角度が等しい場合の公式です。 ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ α＝βの場合は ｓｉｎ（α＋α）＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓαｓｉｎα ｓｉｎ（２α）＝２ｓｉｎαｃｏｓα こ…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【蛇足問題】∠Ａと∠Ｂと∠Ｃの間に、 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝π （式１） の関係があり、 ある長さａ，ｂ，ｃ，ｄとの間に、 ｓｉｎＡ／ａ＝ｓｉｎＢ／ｂ＝ｓｉｎＣ／ｃ＝１／ｄ （式２） の関係が成り立つ時、 ｂ２＋ｃ２－ａ…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】下図のように、３つの平行線の上にそれぞれ点Ａ，Ｂ，Ｃをとる正三角形△ＡＢＣがあり、点Ｂを置いた平行線と線分ＡＣの交点をＤとする。 図のように平行線の間の距離をそれぞれｐ，ｑとし、△ＡＢＣの一辺の長…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】下図のような図形ＡＢＣＤにおいて、∠Ｂ＝９０°、ＡＢ＝３、ＢＣ＝４、ＣＤ＝６、ＤＡ＝７とする。 ＡＢの延長線とＤＣの延長線の交点をＰとするとき、線分ＰＣの長さを求めよ。 【解答の方針】 下図のように…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】三角形ＡＢＣの面積をＳ、辺ＢＣの長さをａとするとき、 であるという。このとき△ＡＢＣはどんな三角形か。 ただし、∠Ｂは０度では無くａも０では無いものとする。 【解答の方針】 三角形の問題は、先ず三角形…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】定数Ａ，Ｂ，Ｃと変数θであらわされる等式 Ａｓｉｎθ＋Ｂｃｏｓθ＋Ｃ＝０ （式１） がすべてのθに対して成り立つための条件は、 Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝０ （式２） であることを示せ。 【注意】 この問題は、Ａ，Ｂ，Ｃ…

【問１】三角形ＡＢＣにおいて、次の式が成り立つことを証明せよ。 （注意）ｃｏｔＡは で定義されています。 （この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります） リンク： 高校数学の目次

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】三角形ＡＢＣにおいて、頂点Ａ、Ｂに対する辺の長さをそれぞれａ，ｂとする。 ｂ＝２ａ （式１） ∠Ｂ＝∠Ａ＋６０° （式２） なるとき、角Ａ，Ｂ，Ｃの大きさを求めよ。 （予備知識） 加法定理を学んだ後の問題…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】ｘ２－（√３）ｘ－２＝０の２つの解を、ｔａｎα，ｔａｎβとするとき、 の値を求めよ。 この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。 リンク： 高校数学の目次

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】 ｔａｎα，ｔａｎβが方程式ｘ２－４ｘ＋３＝０の２つの解であるとき、ｔａｎ（α＋β）の値を求めよ。 （注意） 佐藤の数学教科書では、「加法定理」に直接かかわる練習問題は、この（１節）「三角関数とは」に…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】難問 三角形ＡＢＣにおいて ∠Ａ≠０であり、 ２ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝２ （式１） が成り立っていれば、 ２ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ （式２） が成り立つことを証明せよ。 （注意）この問題は、…

以下の加法定理を導く計算は覚えにくいかもしれません。 ベクトルの内積を学んだ人には、「加法定理はベクトルの内積の式」 の計算の方が、余弦定理を気にしないでも考えられる等で、分かり易いので、そちらを読んでみてください。 【ｃｏｓの加法定理】 上…

先ず、ベクトルの内積によってベクトルの射影の長さが計算できることを説明する。 （ベクトルの内積の定義） 単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ１，ａ２）の長さの２乗は、ａ１・ａ１＋ａ２・ａ２＝１ （式１） であらわすことができる。 その値は、単位ベ…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】２つの円、 （円１） （ｘ－３）２＋（ｙ－２）２＝３ （式１） （円２） （ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝４ （式２） がある。この２つの円の２つの交点ＡとＢを通る（直線３）と、座標原点（０，０）を通…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】２つの直線の交点を与える連立方程式として、 （直線１） ３ｘ－２ｙ＝３ （式１） （直線２） ｘ－４ｙ＝－４ （式２） がある。この２つの直線の式の連立方程式の解は、直線の交点の座標Ｋ（ｘ，ｙ）を…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】２つの円 ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－２ｙ＋１＝０ （式１） ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ａｙ＋１＝０ （式２） の２つの円が交差する条件をもとめよ。 （予備知識） 受験問題のときは、２円の交差の条件の問題は、２…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】２つの円 ｘ２＋ｙ２＝１ （式１） ｘ２－ａｘ＋ｙ２－ｂｙ＝ｃ （式２） の２つの交点を通る直線ｍをもとめよ。 （予備知識） 受験問題のときは、２円の２つの交点を通る直線の問題は、直線の式を求めた…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】２つの円 ｘ２＋ｙ２＝１ （式１） ｘ２－ａｘ＋ｙ２－ｂｙ＝ｃ （式２） の２つの交点を通る直線ｍをもとめよ。 （予備知識） 受験問題のときは、２円の２つの交点を通る直線の問題は、直線の式を求めた…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】 座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（ ａ１，ａ２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。 上の図で線分ＯＡの長さをａとする。 （予備知識） 受験問…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】 座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（ ａ１，ａ２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。 上の図で線分ＯＡの長さをａとする。 （予備知識） 受験問…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】 座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（ ａ１，ａ２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。 上の図で線分ＯＡの長さをａとする。 （予備知識） 受験問…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 以下で、点Ｄ（ｄ１，ｄ２）を中心とする半径Ｒの円の方程式を説明します。 （点Ｄの座標値を記号であらわすときは、上図のｄ１の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前Ｄを引き継いだ記号ｄ１であらわ…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】三角形ＡＢＣの外心（外接円の中心）の座標Ｄをもとめよ。ただし、頂点Ａ，Ｂ，Ｃの座標は、点Ａ（４，７）、点Ｂ（２，１）、点Ｃ（８，３）とする。 外接円の中心Ｄは、線分ＡＢの垂直二等分線ｍと線分…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 以下で、点Ａ（ａ１，ａ２）と点Ｂ（ｂ１，ｂ２）を結ぶ線分ＡＢの垂直二等分線の方程式を導く方法を説明します。 （点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあら…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 以下で、ある直線に垂直な直線の方程式を導く方法を説明します。 （予備知識） 複雑な直線の方程式は、単純な形の基本的な直線の方程式に置きかえて考えます。 （難しい形の式は、全て、単純な形の式に置き換えて…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】点Ｋ（ｋ１，ｋ２）と点Ｐ（Ｘ，Ｙ）との間に、次の関係があるものとする。 （ａとｂは０で無い実数の定数）点Ｋ（ｋ１，ｋ２）が直線ｘ＋ｙ－１＝０上を動くとき、点Ｐ（Ｘ，Ｙ）はどんな図形を描くか。 …

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】点Ｐ（Ｘ，Ｙ）が実数の媒介変数ｋと０で無い実数の定数ａ，ｂ，ｃとを用いて次の式であらわされるものとする。 Ｘ＝（ｋａ＋ｃｂ）／（ｋ２＋ｃ２） （式１） Ｙ＝（ｋｂ－ｃａ）／（ｋ２＋ｃ２） （式２…