佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【蛇足問題】∠Ａと∠Ｂと∠Ｃの間に、 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝π （式１） の関係があり、 ある長さａ，ｂ，ｃ，ｄとの間に、 ｓｉｎＡ／ａ＝ｓｉｎＢ／ｂ＝ｓｉｎＣ／ｃ＝１／ｄ （式２） の関係が成り立つ時、 ｂ２＋ｃ２－ａ…

【問】三角形の３辺の長さがａ，ｂ，√（ａ２＋ａｂ＋ｂ２）であるとき、最大角の大きさを求めなさい。 【解答開始】 ここで、ａ，ｂ以外の辺が√（ａ２＋ｂ２）なら角θは９０度ですが、その辺がそれより大きいことから、角θは９０度以上ということがわかりま…

【問】下図のような１辺の長さが１０の正四面体ＡＢＣＤについて、 （１）辺ＢＣの中点をＭ、∠ＡＭＤ＝θとするとき、cos（θ）の値を求める。 （解答） 上図のように、図中にわかる長さをことごとく書き込む。 θを持つ三角形の３辺の長さ全てがわかっているの…

【問】三角形の外接円の半径Rを三角形の３辺からもとめる。 この問題は、三角形の外接円の半径が、正弦定理で三角形の１つの角度と関係していることと、 三角形の１つの角度が、余弦定理で三角形の３辺に関係していること を使えば解けます。 先ず、正弦定理…

三角形の面積を三辺から求める公式を導く 以下の図のように２辺とその侠角のｓｉｎ（θ）がわかれば、 三角形の面積Ｓがわかります。 Ｓ＝（ｂｃ・ｓｉｎＡ）／２ （式１） です。 ｓｉｎＡ＝√（１－ｃｏｓ２Ａ） （式２） を利用してＳをｃｏｓＡであらわせ…

第４講「図形の計量」（３）空間図形への応用 「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 【問４３】⊿ＡＢＣの３辺をａ，ｂ，ｃ，面積をＳ，・・・外接円の半径をＲとすると、次の関係が成立することを示しなさい。 （式１） Ｓ…

【問題１】の一部：下図の長さｘを求める。 【解答】 二辺挟角がわかっている三角形の残りの辺の長さは、余弦定理から求められます。 上図で、長さｘは、余弦定理から求められます。 です。 （解答おわり） 余弦定理は、上図のように三平方の定理を使って三…

第４講「図形の計量」（１）三角形の面積 「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 上図のように、正弦（ｓｉｎ）を使うと二辺侠角から平行四辺形の面積が得られます。 平行四辺形の面積ａｈ＝ａｃ・ｓｉｎ（θ） であらわせま…

【問題】 上の三角形ＡＢＣにおいて、次の等式を証明しなさい。 【解答】 （証明おわり） （補足） この問題は、以下の、三角形の２辺の二乗の差の公式に係る問題です。 【三角形の辺の二乗の引き算の公式】 （以上が、三角形の辺の二乗の引き算の公式） こ…

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 第２余弦定理の公式（一番やさしい覚え方も有り）を確実におぼえられない人のために、素早く余弦定理を導き出す計算方法を考えてみました。 この式は「拡張三平方の定理」として覚え…

中学生の時は数学ができたのに、高校生になって、余弦定理などが覚えられない（覚えた定理を時が経つと忘れてしまう）ので数学の勉強で挫折する学生が多いらしい。 最初教えられた時には覚えていたのに、時がたつと忘れている事に気づき、最初に覚えた記憶が…

中学生の時は数学ができたのに、高校生になって、正弦定理や余弦定理が覚えられない（時が経つと忘れてしまう）ので数学の勉強で挫折する学生が多いらしい。 「覚えられない（忘れてしまう）」で挫折するのは、数学を、公式を覚える学問だと認識していたから…

【問】 ｔａｎθ＝２／３のとき、 の値を求めよ。 【解答】 この式は以下のように変形して解きます。 この式に、ｔａｎθを使った三平方の定理 を代入して簡単にする。 （解答おわり） リンク： 三角比の相互関係（応用問題）（１） 三角比の相互関係（応用問…

【問】次の式を簡単にせよ。 （ｃｏｓθ）４－（ｓｉｎθ）４ この式は以下のように変形して解きます。 （ｃｏｓθ）４－（ｓｉｎθ）４ 《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》 ＝（（ｃｏｓθ）２－（ｓｉｎθ）２）（（ｃｏｓθ）２＋（ｓｉｎθ）２） …

（sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法） 【問】次の式の値を求めよ。 （ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）２＋（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）２ この式は以下のように変形して解きます。 （ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）２＋（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）２ ＝（ｓｉｎθ）２＋（ｃｏｓθ）…

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 【練習問題１３】θが鋭角のとき、次の等式が成り立つことを示しなさい。 （１）sin（９０°＋θ）＝cos（θ） 以下で、この等式を計算で導きます。 （この式を新しくおぼえるかわりに、…

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 sin（θ）＝√３／２ を解いてθを求めるには、 下のような図を書いて、高さが√３／２の水平線と交わる円の交点を求める。 サインは、円周上の点を垂直線（Ｙ軸）に投影した高さです。 …

「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 以下の図のようにcos（θ）＝－１／３の場合に、sin（θ）とtan（θ）は図を書いて求めると確実に解ける。 リンク 三角比の相互関係（応用問題）（２） 第２講「三角比の拡張と相互関係」（…

第２講「三角比の拡張と相互関係」（１）三角比の相互関係 「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 以下の図のように、三平方の定理（ピタゴラスの定理）をtan（θ）とcos（θ）であらわすことができます。 これはtanとcosを変換す…

「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 ここで、問題がいくつか出題されていますが、一番基本的な問題は、 以下の図のように２辺とその侠角のｓｉｎ（θ）がわかれば、 三角形の面積がわかるということです。 リンク： sinθとcos…

第１講「三角比の考え」（５）サイン，コサインの応用 「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の５１ページ 三角比をあらわす式： が得られました。 しかし、この数は二重根号で複雑な形です。 この二重根号の解き方は、通常の検定教科…

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の４０ページから サインとコサインの定義は下の絵のように書いておぼえればおぼえやすい。 サインは垂直線の長さ、コサインは水平線の長さです。 ここで、先におぼえたｔａｎθはｓｉｎθとｃ…

「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）２５ページに、 １５度の角度のタンジェントの求め方が書いてありました。 上の図を書いて、２つの等しい角度が１５度の二等辺三角形を考えて、ｔａｎ（１５°）を求めます。 ここで、ｔａｎ１５°…

「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス） ２２ページに、 以下の図のような特殊な三角形の tanθの値が書いてありました。 正三角形を半分にしたり、正方形を斜辺で半分にしたりして直角三角形を作れば理解できます。 リンク：高校数学の…

「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス） ２１ページに、 tanθのおぼえ方が、下の図のような絵で書いてありました。 このような絵でおぼえれば、すぐおぼえられますね。 リンク：高校数学の目次

（参考）水野先生による、佐藤の数学教科書の紹介 教科書１６ページのチェック２ 「三角形は、対応する□つの角がそれぞれ等しければ、相似である。・・・」 この答えを見ると、□の中に埋める言葉の答えが「２」と書いてあります。 その答えは、「３」でも良…