佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問1】
座標原点を中心にする半径1の円(x2+y2=1)に対して、点A( a1,a2)から引いた2つの接線の円との接点BとCの座標をもとめよ。
上の図で線分OAの長さをaとする。
(予備知識)
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
しかし、どうしても方程式を使って解くように求められた場合は、以下のようにして解きます。
ただし、以下の計算では、ベクトルを利用して計算を楽にする計算技術を使います。
(解答)
円の式は、
x2+y2=1 (式1)
また、OAの長さaには、以下の式2が成り立つ。
(1)
円の接線の式を作る。
接点Bの座標をB( b1,b2)とし、接点Cの座標をC( c1,c2)する。
接点Bを通る、円の接線の式は、
この接線が点Aを通るため、以下の式がなりたつ。
(2)
接点Bの座標を円の式(式1)に代入する。
(3)
式4と式5を連立して接点B( b1,b2)の座標を求める。
(ベクトルを利用した計算技術を使う)
式4は、下の図のベクトルBとベクトルAの内積です。
上図のように、ベクトルAに平行な単位ベクトルHを考える。単位ベクトルH=ベクトルA/aである。
式4をベクトルBと単位ベクトルHとの内積の式に書き直す。
単位ベクトルHに垂直な単位ベクトルJを考える。すると単位ベクトルJとベクトルBの内積の式は以下の式になる。
式4と式5を連立するのみでベクトルBの方向を定める場合は、ベクトルBの方向は、単位ベクトルJとベクトルBの内積 t が負になる場合もありえる。
よって、Aを通る接線と円の接点BとCの座標(x,y)は、以下の式であらわせる。
(点Bの座標)単位ベクトルJとベクトルBの内積 t が正の場合:
(点Cの座標)単位ベクトルJとベクトルBの内積 t が負の場合:
(解答おわり)
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