佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】２つの円、
（円１） （ｘ－３）２＋（ｙ－２）２＝３ （式１）
（円２） （ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝４ （式２）
がある。この２つの円の２つの交点ＡとＢを通る（直線３）と、座標原点（０，０）を通る（円４）との式を求めよ。
この問題の円の（式１）と（式２）の連立方程式の解が交点ＡとＢの座標になる。
この連立方程式と同じ解の交点ＡとＢの座標を与える別の連立方程式（一方は直線の式で、もう一方は円の式）を求める問題です。
（解答と解説）
この問題は、式１と式２の解を、別の方程式を使って求める問題です。
その解を与える以下の形の連立方程式を作る問題です。
（直線３） ａｘ＋ｂｙ＝ｃ （式３）
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝ｆ （式４）
ただし、式４は座標原点（ｘ，ｙ）＝（０，０）を通るので、それを代入して、
０＋０＋０＋０＝ｆ の式を満足しなければならない。
そのため、ｆ＝０である。よって、式４は以下の式になる。
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝０ （式５）
よって、求める連立方程式は、以下の形の式です。
（直線３） ａｘ＋ｂｙ＝ｃ （式３）
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝０ （式５）
（計算方針）
ｍ（式１）＋ｎ（式２）を計算することで、直線３の式を求め、同様にして円４の式を求める。
計算の見通しを良くするために、式にｍを掛け算してｍ倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
（円１） （ｘ－３）２＋（ｙ－２）２－３＝０ （式１’）
ｘ２－６ｘ＋９＋ｙ２－４ｙ＋４－３＝０
ｘ２＋ｙ２－６ｘ－４ｙ＋１０＝０ （式６）
（円２） （ｘ－１）２＋（ｙ－１）２－４＝０ （式２’）
ｘ２－２ｘ＋１＋ｙ２－２ｙ＋１－４＝０
ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ－２＝０ （式７）
（直線３の式の計算）
先ず、ｍ（式６）＋ｎ（式７）を計算することで、直線３の式を求める。
ｍ（ｘ２＋ｙ２－６ｘ－４ｙ＋１０）
＋ｎ（ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ－２）＝０ （式８）
この式８を、式３と等しくなるように、ｍとｎの値を決める。
式８と式３を比較し易いように、式８を変形する。
（ｍ＋ｎ）ｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｙ２
＋（－６ｍ－２ｎ）ｘ＋（－４ｍ－２ｎ）ｙ＋（１０ｍ－２ｎ）
＝０ （式９）
一方の直線の式３には、ｘ２の項やｙ２の項が無いので、上の式もそれらの項の係数が０でなければならない。
（詳しくは、以下のように考える）
式９が式３と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
＜式９＞ ＜式３＞
ｘ２の係数： （ｍ＋ｎ） ＝０ （式１０）
ｙ２の係数： （ｍ＋ｎ） ＝０ （式１０と同じ）
ｘの係数： （－６ｍ－２ｎ）＝ａ
ｙの係数： （－４ｍ－２ｎ）＝ｂ
定数項の係数： （１０ｍ－２ｎ）＝－ｃ
式１０以外の式は未知数ａ，ｂ，ｃを定める式であって、ｍとｎを限定する式ではないので、ｍとｎを限定するのは式１０のみ。
よって、
ｍ＋ｎ＝０ （式１０）
この式１０の条件を満たすｍとｎのどの組合せでも良い。
とりあえず、ｍ＝１、ｎ＝－１に決める。
その場合は、式９は、以下の式になる。
（－６＋２）ｘ＋（－４＋２）ｙ＋（１０＋２）＝０
－４ｘ－２ｙ＋１２＝０
（－２）で式全体を割り算する。
２ｘ＋ｙ－６＝０ （式１１）
この式１１が求める式３の形（を変形した形）の具体的式である。
（注意）この式は、式６と式７を加えて得た式９であるので、式１と式２の円の２つの交点ＡとＢを通る。
（円４の式の計算）
（ｍ＋ｎ）ｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｙ２
＋（－６ｍ－２ｎ）ｘ＋（－４ｍ－２ｎ）ｙ＋（１０ｍ－２ｎ）
＝０ （式９）
以下の計算では、式９のｍとｎを、円４を求めるために定め、先に直線３を求めるときに定めた値とは別の値のｍとｎを定める。
円４の式５は以下の式である。
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝０ （式５）
式９が式５と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
ｘ２の係数： （ｍ＋ｎ）＝１ （式１２）
ｙ２の係数： （ｍ＋ｎ）＝１ （式１３）
ｘの係数： （－６ｍ－２ｎ）＝ｄ （式１４）
ｙの係数： （－４ｍ－２ｎ）＝ｅ （式１５）
定数項の係数： （１０ｍ－２ｎ）＝０ （式１６）
式１４と式１５は未知数ｄとｅを定める式なので、ｍとｎを限定する式では無いので無視して良い。
それ以外の式は、式１２（式１３と同じ）と式１６だけである。
（ｍ＋ｎ）＝１ （式１２）
（１０ｍ－２ｎ）＝０ （式１６）
この式１２と式１６を連立してｍとｎを定める。
２（式１２）＋（式１６）を計算することでｎを消去した式を作る。
２ｍ＋１０ｍ＝２
ｍ＝２／１２＝１／６ （式１７）
１０（式１２）－（式１６）を計算することでｍを消去した式を作る。
１０ｎ＋２ｎ＝１０
ｎ＝１０／１２＝５／６ （式１８）
式１７と式１８を式９に代入する。
（ｍ＋ｎ）ｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｙ２
＋（－６ｍ－２ｎ）ｘ＋（－４ｍ－２ｎ）ｙ＋（１０ｍ－２ｎ）
＝０ （式９）
（（１／６）＋（５／６））ｘ２＋（（１／６）＋（５／６））ｙ２
＋（－（６／６）－（１０／６））ｘ＋（－（４／６）－（１０／６））ｙ＋（（１０／６）－（１０／６））＝０
ｘ２＋ｙ２－（１６／６）ｘ－（１４／６）ｙ＝０
ｘ２＋ｙ２－（８／３）ｘ－（７／３）ｙ＝０ （式１９）
この式が、求める円４の式５である。
（注意）この式は、式６と式７を加えて得た式９であるので、式１と式２の円の２つの交点ＡとＢを通る。
以上の計算で得た以下の式の連立方程式は（式１）と（式２）の連立方程式を変形して求めたので、元の式１と式２の連立方程式と同じ解を与える。
（直線３） ２ｘ＋ｙ－６＝０ （式１１）
（円４） ｘ２＋ｙ２－（８／３）ｘ－（７／３）ｙ＝０ （式１９）
すなわち、上の式の直線３と円４の２つの交点は、円１と円２の交点ＡとＢである。
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