佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【難問】以下の式を簡単な式に変換せよ。 ｃｏｓθ・ｃｏｓ（２θ）・ｃｏｓ（４θ）・ｃｏｓ（８θ） 【解答の心構え】この問題は、いきなり出されても解答を思いつく人はまれだと思う。 （そもそも、以下の答えが「単純…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】頂角に以下の関係がある△ＡＢＣはどのような三角形か。 ｓｉｎＡ＝２ｃｏｓＢｓｉｎＣ 【解答の心構え】先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。 図形の問題は図を書い…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】頂角に以下の関係がある△ＡＢＣはどのような三角形か。 ｃｏｓＡ－ｃｏｓＢ＝ｓｉｎＣ 【解答の心構え】先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。 図形の問題は図を書い…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 三角関数を分数の和に変換する公式（積を和に変える公式の変形）の応用問題です。 【問１】以下の三角関数の式を簡単にせよ。 ｆ（θ）＝ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（２θ）＋ｃｏｓ（３θ）＋ｃｏｓ（４θ）＋ｃｏｓ（５θ） （この…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 三角関数の和と積の公式は、加法定理の一種です。 先ず、積を和に変える公式は以下の公式です。 これらの公式のうち１番目の公式は、以下の様にベクトルの内積の計算を利用して証明できます。 次の２番目の公式は、以…

「電磁気学のベクトル解析」の目次はここをクリック ベクトル解析の問題を解くとき、アインシュタインの縮約記法を用いると便利です。 以下の、「行列の掛け算の定理」を証明するという課題を解く例を参考にして、アインシュタインの縮約記法を説明します。 …

「電磁気学のベクトル解析」の目次はここをクリック 【問】 下図のように、紙面に垂直な面の金属の平行平板があり、その両方の金属板を金属線で接続しています。そこに、紙面から紙面の手前に向く磁場（磁束密度Ｂ）を加えます。 そして、その金属の平行平板…

大学で学ぶ電磁気学のベクトル解析の全貌については、 「物理のかぎしっぽ」 が詳しいで参考にして欲しいと思います。 以下では、大学で学ぶ電磁気学のベクトル解析の一部の、このサイトのオリジナルな説明のみの一覧を書きます。 【目次】 磁場の中を運動す…

三角関数の２乗の差の公式は、 「単位ベクトルの要素の２乗の差の公式」 と同じものです。 【問１】以下の公式を証明せよ 【問２】以下の公式を証明せよ これらの問題の解答は、ここをクリックした先にあります。 式の変形の過程で以上の形の式が出てきたら…

【三角関数の合成の公式】 すなわち、以下の式： の変形の公式は、加法定理の一種です。 この式の係数： とあらわせます。 そして、式１は以下の式に変形できます。 この式はｓｉｎの加法定理であるので、以下の式になります。 このように、ａ・ｓｉｎθ＋ｂ…

【難問】三角形ＡＢＣにおいて、 ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ≦（１／８） （式１） を証明せよ。そして、△ＡＢＣが正三角形のときのみに等号が成り立つことを示せ。 （予備知識） 加法定理（２倍角と半角の公式）を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そ…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 ２倍角の公式は、加法定理の２つの角度が等しい場合の公式です。 ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ α＝βの場合は ｓｉｎ（α＋α）＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓαｓｉｎα ｓｉｎ（２α）＝２ｓｉｎαｃｏｓα こ…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【蛇足問題】∠Ａと∠Ｂと∠Ｃの間に、 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝π （式１） の関係があり、 ある長さａ，ｂ，ｃ，ｄとの間に、 ｓｉｎＡ／ａ＝ｓｉｎＢ／ｂ＝ｓｉｎＣ／ｃ＝１／ｄ （式２） の関係が成り立つ時、 ｂ２＋ｃ２－ａ…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】下図のように、３つの平行線の上にそれぞれ点Ａ，Ｂ，Ｃをとる正三角形△ＡＢＣがあり、点Ｂを置いた平行線と線分ＡＣの交点をＤとする。 図のように平行線の間の距離をそれぞれｐ，ｑとし、△ＡＢＣの一辺の長…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】下図のような図形ＡＢＣＤにおいて、∠Ｂ＝９０°、ＡＢ＝３、ＢＣ＝４、ＣＤ＝６、ＤＡ＝７とする。 ＡＢの延長線とＤＣの延長線の交点をＰとするとき、線分ＰＣの長さを求めよ。 【解答の方針】 下図のように…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】三角形ＡＢＣの面積をＳ、辺ＢＣの長さをａとするとき、 であるという。このとき△ＡＢＣはどんな三角形か。 ただし、∠Ｂは０度では無くａも０では無いものとする。 【解答の方針】 三角形の問題は、先ず三角形…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】定数Ａ，Ｂ，Ｃと変数θであらわされる等式 Ａｓｉｎθ＋Ｂｃｏｓθ＋Ｃ＝０ （式１） がすべてのθに対して成り立つための条件は、 Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝０ （式２） であることを示せ。 【注意】 この問題は、Ａ，Ｂ，Ｃ…

【問１】三角形ＡＢＣにおいて、次の式が成り立つことを証明せよ。 （注意）ｃｏｔＡは で定義されています。 （この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります） リンク： 高校数学の目次

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】三角形ＡＢＣにおいて、頂点Ａ、Ｂに対する辺の長さをそれぞれａ，ｂとする。 ｂ＝２ａ （式１） ∠Ｂ＝∠Ａ＋６０° （式２） なるとき、角Ａ，Ｂ，Ｃの大きさを求めよ。 （予備知識） 加法定理を学んだ後の問題…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】ｘ２－（√３）ｘ－２＝０の２つの解を、ｔａｎα，ｔａｎβとするとき、 の値を求めよ。 この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。 リンク： 高校数学の目次

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】 ｔａｎα，ｔａｎβが方程式ｘ２－４ｘ＋３＝０の２つの解であるとき、ｔａｎ（α＋β）の値を求めよ。 （注意） 佐藤の数学教科書では、「加法定理」に直接かかわる練習問題は、この（１節）「三角関数とは」に…

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強 【問１】難問 三角形ＡＢＣにおいて ∠Ａ≠０であり、 ２ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝２ （式１） が成り立っていれば、 ２ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ （式２） が成り立つことを証明せよ。 （注意）この問題は、…

以下の加法定理を導く計算は覚えにくいかもしれません。 ベクトルの内積を学んだ人には、「加法定理はベクトルの内積の式」 の計算の方が、余弦定理を気にしないでも考えられる等で、分かり易いので、そちらを読んでみてください。 【ｃｏｓの加法定理】 上…

先ず、ベクトルの内積によってベクトルの射影の長さが計算できることを説明する。 （ベクトルの内積の定義） 単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ１，ａ２）の長さの２乗は、ａ１・ａ１＋ａ２・ａ２＝１ （式１） であらわすことができる。 その値は、単位ベ…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】２つの円、 （円１） （ｘ－３）２＋（ｙ－２）２＝３ （式１） （円２） （ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝４ （式２） がある。この２つの円の２つの交点ＡとＢを通る（直線３）と、座標原点（０，０）を通…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】２つの直線の交点を与える連立方程式として、 （直線１） ３ｘ－２ｙ＝３ （式１） （直線２） ｘ－４ｙ＝－４ （式２） がある。この２つの直線の式の連立方程式の解は、直線の交点の座標Ｋ（ｘ，ｙ）を…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】２つの円 ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－２ｙ＋１＝０ （式１） ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ａｙ＋１＝０ （式２） の２つの円が交差する条件をもとめよ。 （予備知識） 受験問題のときは、２円の交差の条件の問題は、２…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】２つの円 ｘ２＋ｙ２＝１ （式１） ｘ２－ａｘ＋ｙ２－ｂｙ＝ｃ （式２） の２つの交点を通る直線ｍをもとめよ。 （予備知識） 受験問題のときは、２円の２つの交点を通る直線の問題は、直線の式を求めた…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】２つの円 ｘ２＋ｙ２＝１ （式１） ｘ２－ａｘ＋ｙ２－ｂｙ＝ｃ （式２） の２つの交点を通る直線ｍをもとめよ。 （予備知識） 受験問題のときは、２円の２つの交点を通る直線の問題は、直線の式を求めた…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】 座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（ ａ１，ａ２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。 上の図で線分ＯＡの長さをａとする。 （予備知識） 受験問…