【問１】数列 (a_n) の極限αを定義する式に関して：∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n>N)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (1)∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≧M)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (2)(1) ⇔ (2)を証明せよ。【証明開始】∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n>N)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (1)⇔∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≦N)∪(|(a_n)−…
やさしい微分積分〔前のページ〕〔次のページ〕〔微分積分の目次〕《実数とは》 例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りな…
《ベクトルの一次独立とは何か》 ２つの独立したベクトルのことを、「２つの一次独立なベクトル」と呼びます。 ２つのベクトルのうちのある１つのベクトルが、他の１つのベクトルの実数倍であらわせる場合は、その２つのベクトルが１次従属である、と呼びま…
やさしい微分積分〔前のページ〕〔次のページ〕不連続点と連続でない点〔微分積分の目次〕《連続関数》 微分積分の命綱を握っているのが連続関数の概念です。【１つながりに連続する関数】 微分積分で扱う関数は、均質な基本的な要素の関数を単位にして考え…
（ページ内リンク先）▽はじめに▽ 微分とは何か▽定義の言い換え ▽関数の増減表 ▽微分可能の定義の拡張＝区間の端での微分可能の定義▽接線の定義▽右側微分係数と左側微分係数 ▽関数の連続を前提にした、とある定理 ▽微分不可能が微分可能に変わる例 ▽行なって…
「微分・積分」の勉強 高校の数Ⅱで、微分・積分を学ぶようになり、その勉強がつまらなくなり数学を学ぶのをあきらめて文系に進むことにする学生が多いらしい。そうなる以前に早めに数学がつまらなくなることを見切って早々と文系に進むことに決める学生も多…
ベクトルが体系的に説明されている参考書：「数学の受験教科書 ５ ベクトル」でベクトルを学ぶことができます。《ベクトルの定義》 点ＡからＢまでの点の座標の複数の成分の移動量の集合をベクトルＡＢと呼ぶ。また、もっと一般的には、複数の数の集合をベク…
（ページ内リンク）▷基本的な公式群▷ベクトルの内積を複素数であらわす▷直線へ下した垂線のベクトル▷直交ベクトルへの分解▷三角形の頂点から外心までのベクトル▷正三角形になる必要十分条件▷線対称な点の公式▷３倍角の公式▷単位ベクトルの差とその共役複素数…
（重要外部リンク）積分可能の定義と原始関数と不定積分の求め方（ページ内リンク）▽被積分関数の単位▽はじめに▽（外部リンク）原始関数とは何か▽不定積分とは何か▽積分の特徴▽積分可能な例▽不定積分に積分定数Ｃを加える事▽不定積分の積分定数Cの扱いの誤り…
この解答の元の問題はここをクリックした先のページにあります。 〔ページ内リンク〕▷二重根号の外し方（方法１）▷二重根号の外し方（方法２） ▷二重根号が外せない場合 ▷簡易な計算方法 ▷簡易公式２▷二重根号の外し方（方法３）▷二重根号の外し方（方法４）…
（ページ内リンク先）▽基本定理の概要▽微分積分学の基本定理の定義▽基本定理の定義のポイント▽基本定理の対偶 ▽微分積分学の基本定理の正しい定義 ▽補助定理 ▽基本定理の確認 ▽基本定理の前半の証明 ▽基本定理の中段の証明 ▽基本定理の後半の証明 ▽微分と積…
《積が和にかわる対数関数は、相加平均（和）と相乗平均（積）の不等式と相性が良い》 佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強 ａ≧０， ｂ≧０のとき （ａ＋ｂ）／２≧√（ａ・ｂ） ただし、ａ≠ｂのときは （ａ＋ｂ）／２＞√（ａ・ｂ） 【問１】 と の大…
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強 三角関数を分数の和に変換する公式（積を和に変える公式の変形）の応用問題です。 【問１】以下の三角関数の式の数列の和を与える式を求めよ。 （解答） 三角関数を分数の和に変換する公式を使う。 （解答おわり） リンク：…
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強 三角関数を分数の和に変換する公式（積を和に変える公式の変形）の応用問題です。 【問１】以下の三角関数の式の数列の和を与える式を求めよ。 （解答） 三角関数を分数の和に変換する公式を使う。 （解答おわり） リンク：…
高校２年生も覚えるべき置換積分法（６）積分の知識： 「置換積分法」（ページ内リンク）▽置換積分の公式の定義▽公式の第１の証明▽公式の第２の証明▽逆向きの置換積分の公式 ▽(別ページ)被積分関数を０で割り算して良いのか？ ▽(別ページ)広義積分▽媒介する…
【問１】 上図のように、三角形ＡＢＣの各頂点の複素数平面での座標をα､β、ɤとすると、 この三角形の外心Ｐの座標が上式であらわされる事を証明せよ。 【問２】 上図のように、三角形ＡＢＣの各頂点の複素数平面での座標をα､β、ɤとする場合に三角形の外心Ｐ…
複素数の計算を推進する以下の公式を導きだしましょう。 （第１優先事項） 複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同…
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強 【問２】 １２＋２２＋３２＋・・・＋ｎ２＝Ｇ（ｎ）とする公式を求めよ。 ａｋ＝ｋ２の和（ｋ＝１～ｎ）を求める問題です。 こういう和の問題を求める場合は、 ａｋ＝ｂｋ－ｂ（ｋ＋１） とあらわせるｂｋの式を考えて解…
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強 【問１】 １＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２を証明せよ。 ａｋ＝ｋの和（ｋ＝１～ｎ）を求める問題です。 こういう和の問題を求める場合は、 ａｋ＝ｂｋ－ｂ（ｋ＋１） とあらわせるｂｋの式を考えて解きます。 ａ…
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強 【問１】 １＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２を証明せよ。 【問２】 １２＋２２＋３２＋・・・＋ｎ２＝ｎ（ｎ＋（１／２））（ｎ＋１）／３を証明せよ。 （この問題の解答は、ここをクリックした先のページにありま…
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強 【問１】 （１×２）＋（２×３）＋（３×４）＋・・・＋ｎ（ｎ＋１）＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）を証明せよ。 【問２】 （１×２×３）＋（２×３×４）＋（３×４×５）＋・・・＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）＝（１／４）ｎ（…
空間ベクトルの３つの公式 以下の３つの公式は、各自で証明してください。 【問１】 点Ｏから線分ＡＢ（点Oと点ＡとBとの各点の位置は異なる）の中の点Ｐ（線分ＡＢの端点ＡとＢも含む）まで引いたベクトルＯＰが以下の条件を満足する式であらわせる事を証明…
（ページ内リンク先）▽はじめに▽関数の定義▽（外部リンク）連続関数の正しい定義 ▽微分積分を使いものにする言葉 ▽「区間」という用語の意味 ▽（外部リンク）原始関数とは何か ▽逆関数 ▽合成関数 ▽逆関数定理 ▽陰関数 ▽値域に虚数を含む関数g(x)の逆関数 （…
「微分・積分」の勉強 高校２年生から、極限・微分・積分の「意味がわからない」「つまらない」「教わる計算方法が正しいと言える理由（証明）がわからない」で数学の学習から脱落する高校２年生が多いらしい。 その脱落の原因を考えます。 脱落する原因は、…
（ページ内リンク先）▽連続関数▽1817年に歴史上初めて連続関数が正しく定義された▽微分積分を使いものにする言葉 ▽開区間での連続と閉区間での連続▽区間の定義 ▽連続関数の誤った定義▽連続関数の正しい定義▽連続関数の定義域▽第１の定義の連続（イプシロンデ…
先ず、閉区間で連続な関数の最大値と最小値の定理を高校生が理解できないようにする高校数学で、学生に間違いを教えている間違いを正す必要があります。 （微分積分を使いものにする言葉について） 数学者の小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」では、微分積分を使…
「微分・積分」の勉強（ページ内リンク）▽はじめに▽積分とは何か（リーマン積分） ▽《区間という用語の意味》▽一様連続性▽不正確な情報から真実を見抜くコツ▽（外部リンク）原始関数とは何か▽（外部リンク）不定積分とは何か ▽微分積分学の基本定理▽積分可能…
高校２年になり学ぶ「極限」は、微分の計算をする上で必要になった計算技術です。 そのため、微分の計算を先にして、計算に困ったときに「極限」を学ぶという勉強スタイルでも良いと考えます。 そういう計算の役に立つように、頭を整理することが、極限を学…
「微分・積分」の勉強 （５）微分の知識の整理 の章に入ります。 高校生が数学の学習から脱落する： 高校２年生から、極限・微分・積分の「意味がわからない」「つまらない」「教わる計算方法が正しいと言える理由（証明）がわからない」で数学の学習から脱…
（注意） このページは、初めて合成関数の微分の公式を学ぶ者にとって内容が多くなり過ぎました、そのため、この内容を短くしたページを作りました。初めて合成関数の微分の公式を学ぶ人は、ここをクリックした先のページを先に見てください。その後で必要が…
