佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】
座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（ ａ１，ａ２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。
上の図で線分ＯＡの長さをａとする。
（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
しかし、どうしても方程式を使って解くように求められた場合は、以下のようにして解きます。
（解答）
円の式は、
ｘ２＋ｙ２＝１ （式１）
また、ＯＡの長さａには、以下の式２が成り立つ。
（１）
円の接線の式を作る。
接点Ｂの座標をＢ（ ｂ１，ｂ２）とし、接点Ｃの座標をＣ（ ｃ１，ｃ２）する。
接点Ｂを通る、円の接線の式は、
この接線が点Ａを通るため、以下の式がなりたつ。
（２）
接点Ｂの座標を円の式（式１）に代入する。
（３）
式４と式５を連立して接点Ｂ（ ｂ１，ｂ２）の座標を求める。
先ず、式４から、
式６を式５に代入して未知数ｂ２を消去する。
その代入をしやすくするために、式５にａ２２を掛け算する。
これに式６を代入する。
未知数ｂ１に関して、上の式を整理する。
この式を未知数ｂ１に関して平方完成する。
（４）
この式を式６に代入して未知数ｂ２を計算する。
この解は、接点Ｂと接点Ｃとの両方の解をあらわしている。
よって、接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）は、以下の式であらわせます。
接点Ｂは、
接点Ｃは、
（解答おわり）
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