佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】
座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（ ａ１，ａ２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。
上の図で線分ＯＡの長さをａとする。
（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
（接点を結び直線ＢＣと直線ＯＡの交点Ｅを考える）
ここで、
ａ２＝ａ１２＋ａ２２
です。
△ＡＢＯは△ＢＥＯに相似だから、
△ＢＥＯの辺 ＯＥ＝ＢＯ・（ＯＢ／ＡＯ）＝１／ａ
一方、
ベクトルＯＡ（べクトルＡ）に平行な単位ベクトルは、
です。
ベクトルＡに垂直な単位ベクトル ｆ は、ベクトルの成分であらわすと以下の式であらわせ、
です。
線分ＢＥの長さは直角三角形ＢＥＯの斜辺ＢＯと底辺ＯＥから求められ、
です。
よって、求める接点ＢとＣは、以下のベクトルであらわせる。
位置ベクトル：
接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）は、以下の式であらわせる。
接点Ｂ：
接点Ｃ：
