佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問１】実数のｋの値が変化するとき、２直線 ｋｘ＋３ｙ－２ｋ＝０ （直線１） －３ｘ＋ｋｙ＋２ｋ＋３＝０ （直線２） の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を求めよ。 この問題を解く方針としては、Ｘのみをパラメータｋで…

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強 【問】下図のようにＡ点が原点Ｏにあり、ＢＣがＸ座標軸に平行な三角形ＡＢＣの座標を図のように定義した上で、その三角形の垂心Ｄの座標を求めよ。 （１）点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上…

第６講「円の性質」（２）メネラウスの定理（３／３） 「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 定理１７ チェバの定理 上の図で (a1/a2)(b1/b2)(c1/c2)＝１ これがチェバの定理です。 以下、この定理を証明します。 【証明】…

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 以下の問１４をもう１度解きます。 【問１４】△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣをそれぞれ１：２、２：３に内分する点をＤ，Ｅとし，ＢＥとＣＤの交点をＦとするとき、 （１）ＤＦ：ＦＣを求め…

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 【問１４】△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣをそれぞれ１：２、２：３に内分する点をＤ，Ｅとし，ＢＥとＣＤの交点をＦとするとき、 （１）ＤＦ：ＦＣを求めよ。 【解答】 メネラウスの定理は、…

【問】上の図形で、点Ａから円Ｏへ引いた２つの接線ＡＰとＡＱが円と接する点ＰとＱを通る直線上の点Ｂを選ぶ。 （点Ａと直線ＰＱとの関係は、以下のように名付けられています。すなわち、点Ａが極であり直線ＰＱが極線です。） そのとき、点Ｂから円Ｏへ引…

第６講「円の性質」（１）円周角（２／２） 「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 【定理１５】円の弦ＡＢの延長と円周上の点Ｔにおける接線が点Ｐで交わるとき、次のことが成り立つ。 ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ２ （これを「方べ…

以下の問題はやさしいですが、重要な事を伝えているので、大学の図形専門の数学教授が思わず入試問題に出してしまう問題と思います。 【問】上の図形のように円ＯとＯ’が点ＰとＱで交差している。上図のように、点Ｐを通る直線が円Ｏ’とＡで交わり、円Ｏとは…

三角形の底辺を垂線で分割した線分の長さの積は垂心の高さに比例する、という垂心の性質があります。 【定理】△ＡＢＣの３頂点Ａ，Ｂ,Ｃからそれぞれ直線ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに引いた３本の垂線は１点Ｈで交わる。 【証明】以下でおぼえやすいと思われる自然な…

【問】三角形の外接円の半径Rを三角形の３辺からもとめる。 この問題は、三角形の外接円の半径が、正弦定理で三角形の１つの角度と関係していることと、 三角形の１つの角度が、余弦定理で三角形の３辺に関係していること を使えば解けます。 先ず、正弦定理…

（三角形の面積と内接円の半径の関係） 三角形の３つの内角の２等分線は、１点で交わり、その点から３辺までの距離は等しい。 その１点を三角形の内心と呼ぶ。 そして、その内心を中心として３辺に接する円を三角形の内接円とよびます。 【例題】△ＡＢＣにお…

「三角錐の重心Ｏの位置は、その高さの４分の１になります。」 以下に、三角錐の重心の性質の簡単な求め方を示します。 上の図のように、三角錐の重心を３次元座標の原点Ｏにして考えます。 三角錐ＡＢＣＤの頂点の座標の平均 （Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）／４ が三角…

以下に、三角形の重心の性質の簡単な求め方を示します。 上の図のように、三角形の重心を座標の原点Ｏにして考えます。 三角形ＡＢＣの頂点の座標の平均 （Ａ＋Ｂ＋Ｃ）／３ が三角形の重心です。 図のように、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝（０，０）となるように座標を定め…

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 三角形の重心の性質の証明は教科書に書いてある通りですが、それを習った上で、 三角形の重心の性質をより速く思いだせるようになるために、 以下の証明方法もおぼえておいてください…

【問】三角形の３辺の長さがａ，ｂ，√（ａ２＋ａｂ＋ｂ２）であるとき、最大角の大きさを求めなさい。 【解答開始】 ここで、ａ，ｂ以外の辺が√（ａ２＋ｂ２）なら角θは９０度ですが、その辺がそれより大きいことから、角θは９０度以上ということがわかりま…

上図のように、ＡＥに平行な補助線ＱＣを引くと ｃ：ｂ＝ｍ：ｎ となることがわかります。 下図の様に、ＡＥを水平線と考えると、水平線に対してＡＢが成す角とＡＣが成す角が等しい。 リンク： 高校数学の目次

上図のように、ＡＤに平行な補助線ＰＣを引くと ｃ：ｂ＝ｍ：ｎ となることがわかります。 リンク： 高校数学の目次

【問】次の図において、辺の長さx,yを求めなさい。（３）ＡＤ//ＥＦ//ＢＣ 平行線間の線分の長さの比が同じ。 リンク：高校数学の目次

第４講「図形の計量」（４）球の体積と表面積（その３／３） 「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 【練習問題２３】１辺の長さがａである正四面体について、次の問に答えなさい。 （３）この正四面体に内接する球の半径ｒ…

第４講「図形の計量」（４）球の体積と表面積（その２／３） 「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 【練習問題２３】１辺の長さがａである正四面体について、次の問に答えなさい。 （２）この正四面体に外接する球の半径Ｒ…

第４講「図形の計量」（４）球の体積と表面積（その１／３） 「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 【練習問題２３】１辺の長さがａである正四面体について、次の問に答えなさい。 （１）この正四面体の表面積Ｓと体積Ｖを…

【問】下図のような１辺の長さが１０の正四面体ＡＢＣＤについて、 （１）辺ＢＣの中点をＭ、∠ＡＭＤ＝θとするとき、cos（θ）の値を求める。 （解答） 上図のように、図中にわかる長さをことごとく書き込む。 θを持つ三角形の３辺の長さ全てがわかっているの…

【問】三角形の外接円の半径Rを三角形の３辺からもとめる。 この問題は、三角形の外接円の半径が、正弦定理で三角形の１つの角度と関係していることと、 三角形の１つの角度が、余弦定理で三角形の３辺に関係していること を使えば解けます。 先ず、正弦定理…

三角形の面積を三辺から求める公式を導く 以下の図のように２辺とその侠角のｓｉｎ（θ）がわかれば、 三角形の面積Ｓがわかります。 Ｓ＝（ｂｃ・ｓｉｎＡ）／２ （式１） です。 ｓｉｎＡ＝√（１－ｃｏｓ２Ａ） （式２） を利用してＳをｃｏｓＡであらわせ…

第４講「図形の計量」（３）空間図形への応用 「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 【問４３】⊿ＡＢＣの３辺をａ，ｂ，ｃ，面積をＳ，・・・外接円の半径をＲとすると、次の関係が成立することを示しなさい。 （式１） Ｓ…

【問題１】の一部：下図の長さｘを求める。 【解答】 二辺挟角がわかっている三角形の残りの辺の長さは、余弦定理から求められます。 上図で、長さｘは、余弦定理から求められます。 です。 （解答おわり） 余弦定理は、上図のように三平方の定理を使って三…

第４講「図形の計量」（１）三角形の面積 「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 上図のように、正弦（ｓｉｎ）を使うと二辺侠角から平行四辺形の面積が得られます。 平行四辺形の面積ａｈ＝ａｃ・ｓｉｎ（θ） であらわせま…

【問題】 上の三角形ＡＢＣにおいて、次の等式を証明しなさい。 【解答】 （証明おわり） （補足） この問題は、以下の、三角形の２辺の二乗の差の公式に係る問題です。 【三角形の辺の二乗の引き算の公式】 （以上が、三角形の辺の二乗の引き算の公式） こ…

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 第２余弦定理の公式（一番やさしい覚え方も有り）を確実におぼえられない人のために、素早く余弦定理を導き出す計算方法を考えてみました。 この式は「拡張三平方の定理」として覚え…

中学生の時は数学ができたのに、高校生になって、余弦定理などが覚えられない（覚えた定理を時が経つと忘れてしまう）ので数学の勉強で挫折する学生が多いらしい。 最初教えられた時には覚えていたのに、時がたつと忘れている事に気づき、最初に覚えた記憶が…