佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
以下で、ある直線に垂直な直線の方程式を導く方法を説明します。
（予備知識）
複雑な直線の方程式は、単純な形の基本的な直線の方程式に置きかえて考えます。
（難しい形の式は、全て、単純な形の式に置き換えて考えるのが数学のコツです。）
（説明開始）
基本的な直線の式は、以下の式です。
ａｘ＋ｂｙ＝０
これは、座標原点（０，０）を通る直線です。
この直線に垂直な直線の式は、
－ｂｘ＋ａｙ＝０
です。
ｘとｙにかかる係数を入れ替えて、１つ目の係数の符号を正負逆にした式です。
この式の関係を、以下の図に示します。
これが、垂直な直線の導き方の基本的考え方です。
ここで、点Ａの座標の記号は、下図のように、点Ａの記号を引き継いだ記号に添え字を付けてあらわしてください。そうした方が計算の見通しが良くなるからです。
（基本的考え方の応用）
もっと複雑な問題の場合への応用方法は、以下のようにします。
（例１）
直線 ２ｘ＋ｙ＋４＝０ に垂直な直線の式は、以下のように導きます。
上の直線の式は、以下の式に書き直すと基本的な直線の式になります。
２（ｘ＋２）＋ｙ＝０
ｘ＋２＝Ｘ と置き変えて見ると、上の式は、
２Ｘ＋ｙ＝０
になり、基本的な直線の式であらわせます。
この直線の式に垂直な直線の式は、
－Ｘ＋２ｙ＝０
－（ｘ＋２）＋２ｙ＝０
－ｘ＋２ｙ－２＝０
とあらわせます。
（例２）
直線 ２ｘ＋ｙ＋４＝０ に垂直で、かつ、点Ａ（３，５）を通る直線の式は、以下のように導きます。
直線 ２ｘ＋ｙ＋４＝０ を平行移動して、点Ａ（ｘ，ｙ）＝（３，５）を通る直線にする。
座標（ｘ，ｙ）を、平行移動して、点Ａ（３，５）を座標原点Ａ（Ｘ，Ｙ）＝（０，０）とする座標（Ｘ，Ｙ）で考える。
点Ａ（Ｘ，Ｙ）＝（０，０）
Ｘ＝ｘ－３
Ｙ＝ｙ－５
直線 ２ｘ＋ｙ＋４＝０ を平行移動して、点Ａ（３，５）を通る直線は、
２Ｘ＋Ｙ＝０
です。
この直線に垂直な直線は、
－Ｘ＋２Ｙ＝０
この座標（Ｘ，Ｙ）を（ｘ，ｙ）に置き換える。
－（ｘ－３）＋２（ｙ－５）＝０
－ｘ＋２ｙ＋３－１０＝０
－ｘ＋２ｙ－７＝０
（解答おわり）
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