【問題】 上の三角形ＡＢＣにおいて、次の等式を証明しなさい。 【解答】 （証明おわり） （補足） この問題は、以下の、三角形の２辺の二乗の差の公式に係る問題です。 【三角形の辺の二乗の引き算の公式】 （以上が、三角形の辺の二乗の引き算の公式） こ…

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 第２余弦定理の公式（一番やさしい覚え方も有り）を確実におぼえられない人のために、素早く余弦定理を導き出す計算方法を考えてみました。 この式は「拡張三平方の定理」として覚え…

中学生の時は数学ができたのに、高校生になって、余弦定理などが覚えられない（覚えた定理を時が経つと忘れてしまう）ので数学の勉強で挫折する学生が多いらしい。 最初教えられた時には覚えていたのに、時がたつと忘れている事に気づき、最初に覚えた記憶が…

中学生の時は数学ができたのに、高校生になって、正弦定理や余弦定理が覚えられない（時が経つと忘れてしまう）ので数学の勉強で挫折する学生が多いらしい。 「覚えられない（忘れてしまう）」で挫折するのは、数学を、公式を覚える学問だと認識していたから…

【問】 ｔａｎθ＝２／３のとき、 の値を求めよ。 【解答】 この式は以下のように変形して解きます。 この式に、ｔａｎθを使った三平方の定理 を代入して簡単にする。 （解答おわり） リンク： 三角比の相互関係（応用問題）（１） 三角比の相互関係（応用問…

【問】次の式を簡単にせよ。 （ｃｏｓθ）４－（ｓｉｎθ）４ この式は以下のように変形して解きます。 （ｃｏｓθ）４－（ｓｉｎθ）４ 《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》 ＝（（ｃｏｓθ）２－（ｓｉｎθ）２）（（ｃｏｓθ）２＋（ｓｉｎθ）２） …

（sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法） 【問】次の式の値を求めよ。 （ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）２＋（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）２ この式は以下のように変形して解きます。 （ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）２＋（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）２ ＝（ｓｉｎθ）２＋（ｃｏｓθ）…

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 【練習問題１３】θが鋭角のとき、次の等式が成り立つことを示しなさい。 （１）sin（９０°＋θ）＝cos（θ） 以下で、この等式を計算で導きます。 （この式を新しくおぼえるかわりに、…

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 sin（θ）＝√３／２ を解いてθを求めるには、 下のような図を書いて、高さが√３／２の水平線と交わる円の交点を求める。 サインは、円周上の点を垂直線（Ｙ軸）に投影した高さです。 …

「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 以下の図のようにcos（θ）＝－１／３の場合に、sin（θ）とtan（θ）は図を書いて求めると確実に解ける。 リンク 三角比の相互関係（応用問題）（２） 第２講「三角比の拡張と相互関係」（…

第２講「三角比の拡張と相互関係」（１）三角比の相互関係 「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 以下の図のように、三平方の定理（ピタゴラスの定理）をtan（θ）とcos（θ）であらわすことができます。 これはtanとcosを変換す…

「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習 ここで、問題がいくつか出題されていますが、一番基本的な問題は、 以下の図のように２辺とその侠角のｓｉｎ（θ）がわかれば、 三角形の面積がわかるということです。 リンク： sinθとcos…

【問１】 以下の式を簡単にせよ。 この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。 二重根号の外し方 リンク：高校数学の目次

第１講「三角比の考え」（５）サイン，コサインの応用 「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の５１ページ 三角比をあらわす式： が得られました。 しかし、この数は二重根号で複雑な形です。 この二重根号の解き方は、通常の検定教科…

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の４０ページから サインとコサインの定義は下の絵のように書いておぼえればおぼえやすい。 サインは垂直線の長さ、コサインは水平線の長さです。 ここで、先におぼえたｔａｎθはｓｉｎθとｃ…

「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）２５ページに、 １５度の角度のタンジェントの求め方が書いてありました。 上の図を書いて、２つの等しい角度が１５度の二等辺三角形を考えて、ｔａｎ（１５°）を求めます。 ここで、ｔａｎ１５°…

「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス） ２２ページに、 以下の図のような特殊な三角形の tanθの値が書いてありました。 正三角形を半分にしたり、正方形を斜辺で半分にしたりして直角三角形を作れば理解できます。 リンク：高校数学の…

「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス） ２１ページに、 tanθのおぼえ方が、下の図のような絵で書いてありました。 このような絵でおぼえれば、すぐおぼえられますね。 リンク：高校数学の目次

（参考）水野先生による、佐藤の数学教科書の紹介 教科書１６ページのチェック２ 「三角形は、対応する□つの角がそれぞれ等しければ、相似である。・・・」 この答えを見ると、□の中に埋める言葉の答えが「２」と書いてあります。 その答えは、「３」でも良…

重複組合せの本サイトの解き方を応用して難問を作ってみました。 多分、この問題は絶対に試験には出ないと思いますので、興味のある人だけ読んでください。 【問５】 １，２，３の３つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許すが、選んだ数字のうち一番…

佐藤の数学教科書[個数の処理・確率編]の１３６頁に、 以下の例題がありました。 【問４】 １，２，３，４の４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、 １度に３つずつ取って作る組合せの数は何個あるか。 【解答１】 この問題の組合せ例をいく…

【問３】 方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７の負でない整数解は何個あるか。 この問題の方程式の解を順次に書くと、 （ｘ，ｙ，ｚ）＝ （０，０，７） （０，１，６） （０，２，５） ・・・ と順次に書けます。 ｘが０～何個かであり、 ｙが０～何個かであり、 ｚが０～…

答えの正しさを確認しやすいように問題を簡単にしてみました。 【３種の玉から重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数】 上図のような３種の玉から、重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数を求める。 【解答１】 この問題は、その組み合せと１対１に対応する…

【３種の玉から重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数】 【問１】 上図のような３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数を求めよ。 【解答】 この問題は、その組み合せと１対１に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、…

円順列とじゅず順列の数を求めます。 問９を少しやさしくした問１０を作りました。 以下でこの問題を解きます。 【問１０】 （１）×２個と●２個と○２個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。 （２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず…

リンク：問１０ 円順列とじゅず順列の数を求めます。 以下の問題はかなり難しい（特に、じゅず順列の数の計算）ので、無理して読む必要は無いと思います。 この問題より先に、問１０をやってください。 この問９は、どうしても読みたい人だけ読めば良いと考…

円順列とじゅず順列の数を求めます。 【問８】 （１）×２個と●２個と○３個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。 （２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。 （１）先ず、円順列の数を求めます。 ×と●と○を並べる…

円順列とじゅず順列の数を求めます。 【問７】 （１）●３個と○４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。 （２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。 （１）先ず、円順列の数を求めます。 ●と○を並べる席が３＋４…

円順列とじゅず順列の数を求めます。 【問６】 （１）×１個と●２個と○４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。 （２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。 （１）先ず、円順列の数を求めます。 この問題では、×…

円順列とじゅず順列の数を求めます。 【問５】 （１）×１個と●２個と○３個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。 （２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。 （１）先ず、円順列の数を求めます。 この問題では、×…