第１講「三角比の考え」（５）サイン，コサインの応用
「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の５１ページ
三角比をあらわす式：
が得られました。
しかし、この数は二重根号で複雑な形です。
この二重根号の解き方は、通常の検定教科書には記載されていないそうですが、
佐藤の数学教科書の５１ページにその解き方が書いてありました。
ここでは、その解き方を、その説明よりも詳しく解説します。
【二重根号の外し方（方法１）】
先ず、
と変形し、その右側の項の形にします。右側の項を、
と仮定した数ｘとａを求めます。
（以下の計算方針では、√３という数を含んでいない数（ｘ）と（ａ）を使って表わせる場合の解だけを求める計算をします。
√３を（ｘ）か（ａ）が含まざるを得なかったら、そこで計算を終わりにする覚悟をして、以下の計算をします）
この式の両辺を二乗します。
（ｘ）と（ａ）とが√３を含んでいない数であらわされるならば、
４＝ａ・（１＋３ｘ） （１）
と、
がなりたつと考えることができます。
２つ目の式を更に簡単にすると、
１＝ａ２ｘ （２）
になります。
（２）より、
（３）を（１）に代入します。
この式から、
この式４を因数分解して解くと：
（ａ－１）（ａ－３）＝０
ａ＝１ or ３
ａ＝１の場合を（３）に代入すると、
ｘ＝１
よって、
です。
（ａ＝３の場合も：ｘ＝１／９になって、それを代入すると同じ答えになります）
そのため、
になりました。
よって、
です。
【二重根号の外し方（方法２）】
二重根号を外すもう１つの方法を説明します。
という形をしている２重根号は、以下の条件が成り立つ場合に外すことができます。
二重根号は外せない場合もありますので、このやり方で外せなかった場合は、それは、二重根号が外せない場合だと思っても良いです。
ａ＝ｘ＋ｙ （５）
ｂ＝ｘ・ｙ （６）
となるｘとｙを探します。
そのｘとｙがあれば、
です。
となるからです。
式５と６の解のｘ、ｙを求めるということは、
ｘ２－ａ・ｘ＋ｂ＝０ （７）
の解ｘ、ｙを求めることと同じです。この式７は、式４と同じ式になります。
具体的な今回の以下の問題の場合は、以下のようにして解きます。
の場合は、
と変形します。
この様に、ルートの中の式は、ルートの２倍の項を含む式に変形して、答えを求めます。
を解く場合は、
（ｘ２－４・ｘ＋３＝０ （式４）を解くのと同じですが）
ｘ＋ｙ＝ ａ＝４＝３＋１
ｘｙ＝ ｂ＝３＝３・１
がなりたちますので
ｘ＝３
ｙ＝１
が見つかりました。
です。
そのため、
です。
