ベクトル解析の問題を解くとき、アインシュタインの縮約記法を用いると便利です。
以下の、「行列の掛け算の定理」を証明するという課題を解く例を参考にして、アインシュタインの縮約記法を説明します。
（条件１）ベクトルＤが、以下の式１と式２によりベクトルＦに変換されること。その式の係数が行列Ａを成すこと。
式１と式２の演算の係数を添え字を付けて区別して式３で表します。
この式３は、式３’とあらわすと便利です。
この表し方はアインシュタインが提案した表記方法です（アインシャタインの縮約記法）。
この式３’は、変数で表した添え字の変数名が同じ場合に、その変数名の添え字のあらゆる場合（この場合は１と２のみ）について和をとることにした式です。
（条件２）ベクトルＦが、以下の式４と式５によりベクトルＧに変換されること。その式の係数が行列Ｂを成すこと。
式４と式５の演算の係数を添え字を付けて式６で表します。
この式６は、アインシュタインの縮約記法の式６’であらわせます。
式６’に式３’を代入すると式７が得られます。
式７は、更に式８に変形できます（式８はアインシュタインの縮約記法であらわした式です）。
式８’のように、演算Ａと演算Ｂを合成した演算Ｃを考えます。
式８から、演算Ｃをあらわす行列Ｃの要素の値を計算する式９が得られます。
こうして、演算ＡとＢの行列の要素を用いた式９で演算Ｃをあらわす行列Ｃの要素が計算できることがわかりました。
この演算Ｃを、式１０のように、演算Ａと演算Ｂの積（掛け算）と定義します。
そして、その演算Ａと演算Ｂの掛け算である演算Ｃの行列の要素は式９’で計算できます。
これが、行列の掛け算の定理です。
すなわち、行列の掛け算の定理を、以下のようにあらわすことができます。
（条件１）ベクトルを式１～２でベクトルに変換する演算Ａの行列Ａが定義され、
（条件２）ベクトルを式４～５でベクトルに変換する演算Ｂの行列Ｂが定義されている場合に以下のことが成り立つ。
（結果）
第１のベクトルを演算Ａで変換して第２のベクトルを得、更に、第２のベクトルを演算Ｂで変換して第３のベクトルを得る場合、
その２つの演算は、第１のベクトルを第３のベクトルに変換する演算Ｃにまとめることができる。
演算Ｃの行列Ｃは、式９’で計算することで求めることができる。
その演算Ｃを、演算Ａに演算Ｂを掛け算した演算であると定義する。
演算Ｃの行列の要素を計算する式９’の計算を、行列の掛け算と定義する。
【計算の形】
なお、この掛け算の計算方式をベクトルＡとＢの内積にあてはめると、以下の形の行列の計算になる。
この計算は、横ベクトルＡと縦ベクトルＢの積であらわせる。
