第６講「円の性質」（２）メネラウスの定理（３／３）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
定理１７ チェバの定理
上の図で
(a1/a2)(b1/b2)(c1/c2)＝１
これがチェバの定理です。
以下、この定理を証明します。
【証明】
上図の赤線のように補助線を引きます。
すると、
△ＲＡＸ∽△ＲＢＹから
u＝(c2/c1)m ・・・（１）
△ＱＡＸ∽△ＱＣＺから
t＝(b1/b2)m ・・・（２）
△ＸＢＹ∽△ＸＺＣから
t＝(a2/a1)u ・・・（３）
式（１）と式（２）からｍを消去する。
(u/t)＝(c2/c1)(b2/b1) ・・・（４）
以下で、式（４）と式（３）からｕ／ｔを消去する。
先ず、式（３）から
(t/u)＝(a2/a1)
これを式（４）に代入する。
(a1/a2)＝(c2/c1)(b2/b1)
∴
(a1/a2)(c1/c2)(b1/b2)＝1
（証明おわり）
【究極の証明方法】
補助線を引いてチェバの定理を証明するのが面倒くさいので、以下の様に３次元空間を使って証明します。
この平面図形を３次元空間に配置し、
３次元空間での点の高さを括弧（）内に書きます。
上図のように直線ＢＸＱの高さを（０）にし、点Ａの高さを（ｂ２）にし、点Ｃの高さを（－ｂ１）にします。
次に、この図の点Ｐの高さを求めます。
ＡＸ：ＸＰが求められました。
この式を見ると、式にｃ１とｃ２がありません。
図形の左右を入れ替えるとｂとｃが置き換わりますので、
この式をｃであらわすこともできることがわかります。
そのため、同様にして、ＡＸ：ＸＰをｃであらわした式を求めます。
ＡＸ：ＸＰをあわらした以上の２つの式を連立します。
（証明おわり）
