なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）
【研究問題】円の接線の公式は既に学習していると思いますが、
接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、
改めて、円の接線の公式を微分により導いてみます。
円 ｘ２＋ｙ２＝１ （式１）
この円の式全体を微分します。
その微分の際に、
微分の基本公式 （ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
を使います。
ｘ’・ｘ＋ｘ・ｘ’＋ｙ’・ｙ＋ｙ・ｙ’＝１’
ｘ’＝１で、１’＝０だから、
２ｘ＋２ｙ・ｙ’＝０ （式２）
接点（ｘ，ｙ）での接線の傾きｙ’は、
（ｙが０で無い場合は）
式２を変形した以下の式であらわせます。
ｙ’＝－ｘ／ｙ （式３）
接点を（ａ，ｂ）とすると、式３は以下の式になります。
ｙ’＝－ａ／ｂ
接線の式は、
ｙ－ｂ＝ｙ’（ｘ－ａ）
ｙ－ｂ＝（－ａ／ｂ）（ｘ－ａ）
ｂ（ｙ－ｂ）＝－ａ（ｘ－ａ）
ｂ（ｙ－ｂ）＋ａ（ｘ－ａ）＝０
ｂｙ＋ａｘ＝ａ２＋ｂ２
点（ａ，ｂ）は式１を満足するので、
ａ２＋ｂ２＝１
∴ ｂｙ＋ａｘ＝１
この、円の接線の公式は既に学んでいる接線の式です。
【研究問題その２】
楕円の式は高校３年の数学ⅢＣで学びますが、高校２年でも、その式だけは覚えていても良いと思います。
楕円 ｘ２／ａ２＋ｙ２／ｂ２＝１ （式１）
です。
この楕円の接線の公式は、微分により導けます。
この楕円の式全体を微分します。
その微分の際に、
微分の基本公式 （ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
を使います。
（ｘ’・ｘ＋ｘ・ｘ’）／ａ２＋（ｙ’・ｙ＋ｙ・ｙ’）／ｂ２＝１’
ｘ’＝１で、１’＝０だから、
２ｘ／ａ２＋２ｙ・ｙ’／ｂ２＝０ （式２）
接点（ｘ，ｙ）での接線の傾きｙ’は、
（ｙが０で無い場合は）
式２を変形した以下の式であらわせます。
ｙ’＝－ｘ・ｂ２／（ｙ・ａ２） （式３）
接点を（α，β）とすると、式３は以下の式になります。
ｙ’＝－α・ｂ２／（β・ａ２）
接線の式は、
ｙ－β＝ｙ’（ｘ－α）
ｙ－β＝（－α・ｂ２／（β・ａ２））（ｘ－α）
β（ｙ－β）／ｂ２＝－α（ｘ－α）／ａ２
β（ｙ－β）／ｂ２＋α（ｘ－α）／ａ２＝０
βｙ／ｂ２＋αｘ／ａ２＝（α／ａ）２＋（β／ｂ）２
点（α，β）は式１を満足するので、
（α／ａ）２＋（β／ｂ）２＝１
∴ βｙ／ｂ２＋αｘ／ａ２＝１
こうして、楕円の接線の公式が得られました。
リンク：
高校数学の目次
