佐藤の数学教科書「微分」編の勉強
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）
【問１】２つの放物線
ｙ＝ ｘ２ （式１）
ｙ＝－（ｘ－２）２ （式２）
の共通接線の方程式を求めよ。
（解答の方針）
式１の接点Ａ（ａ，ｂ）での接線の式をあらわし、
式２の接点Ｃ（ｃ，ｄ）での接線の式をあらわし、
それらの接線の式が等しいとする方程式を書いて、
その方程式を解けば良い。
ただし、その方程式を解く過程で計算間違いをすると正しい答えが出ない。
そのため、計算間違いを少なくする問題の解き方を工夫する。
（解答）
ｙ＝ ｘ２ （式１）
ｙ＝－（ｘ－２）２ （式２）
（１）
式１を微分して式１のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝２ｘ （式３）
接点Ａ（ａ，ａ２）での式１の接線の式は
傾きｙ’＝２ａ
だから、以下の式になる。
ｙ－ａ２＝ｙ’（ｘ－ａ）
ｙ－ａ２＝２ａ（ｘ－ａ） （式４）
（２）
式２を微分して式２のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝－２（ｘ－２） （式５）
接点Ｃ（ｃ，－（ｃ－２）２）での式２の接線の式は
傾きｙ’＝－２（ｃ－２）
だから、以下の式になる。
ｙ＋（ｃ－２）２＝ｙ’（ｘ－ｃ）
ｙ＋（ｃ－２）２＝－２（ｃ－２）（ｘ－ｃ）
この式を、
ｃ－２＝ｅ （式６）
とおいて、以下のように単純な式であらわす。
ｙ＋ｅ２＝－２ｅ（ｘ－ｃ） （式７）
このように単純な形に式をあらわすことで、計算が簡単になり、計算間違いを少なくすることができる。
式７に残っているｃもｅにおきかえる。
ｙ＋ｅ２＝－２ｅ（ｘ－ｅ－２） （式８）
（３）
接線の式８と４の傾きが等しい条件式を求める。
－２ｅ＝２a
ｅ＝－ａ （式９）
（４）
式４と式８のそれ以外の項も等しくなる条件式を求める。
ｅ２＋２ｅ（－ｅ－２）＝－ａ２＋２ａ・ａ
－ｅ２－４ｅ＝ａ２
式９を代入してｅをａにおきかえる。
－ａ２＋４ａ＝ａ２
－２ａ２＋４ａ＝０
ａ（ａ－２）＝０
ａ＝０ （式１０）
ｏｒ
ａ＝２ （式１１）
（５）式１０の場合：
ａ＝０ （式１０）
式１０を式４に代入。
ｙ＝０ （式１２）
（６）式１１の場合：
ａ＝２ （式１１）
式１１を式４に代入。
ｙ－４＝４（ｘ－２）
ｙ＝４ｘ－４ （式１３）
以上の結果、式１と２の放物線の共通接線の方程式は、
ｙ＝０ （式１２）
と、
ｙ＝４ｘ－４ （式１３）
である。
（解答おわり）
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