佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】円ｘ２＋ｙ２＝１と定点Ａ（３，－２）がある。この円周上の動点Ｑにおける接線上に点Ｐ（Ｘ，Ｙ）をとり、ＡＰ＝２ＰＱにするとき、点Ｐの軌跡の方程式を求めよ。
（目標の設定）
この問題を解く方針の検討において、定石に従って、先ずは、Ｐ点のＸ座標のみを何かのパラメータであらわす第１の式と、Ｙ座標のみを何かのパラメータであらわす第２の式を求めたかった。定石では、その次に、ＸとＹの間に成り立つ関係式を求める。
しかし、Ｘ座標又はＹ座標を何らかのパラメータを使ってあらわす式は、簡単には導けそうにない。そのＸ座標あるいはＹ座標をあらわす式を求めるためには、２次方程式を解かなければいけないように見える。
そうするには、その式を求めるだけでも、ずいぶん手間がかかりそうだ。
そのため、仕方ないので、定石である上記の方針を変更して、先ずは、点ＰのＸ座標とＹ座標の間になりたつ関係式を導くことにする。そして、その関係式をあらわすグラフを描いて、図を見ることで、求められた方程式があらわすグラフのどの部分を、点Ｐが動くかを調べることにする。
（解答）
接点ＱからＰまでの線分の長さＱＰは、三角形ＯＱＰが直角三角形であることからＱＰ＝√（ＯＰ２－ＯＱ２）である。そのため、以下の式が成り立つ。
ＱＰ２＝ＯＰ２－ＯＱ２
ＱＰ２＝Ｘ２＋Ｙ２－１ （式１）
２ＰＱ＝ＡＰであるので、
（２ＰＱ）２＝ＡＰ２
４｛Ｘ２＋Ｙ２－１｝＝（Ｘ－３）２＋（Ｙ＋２）２
３Ｘ２＋３Ｙ２－４＝－６Ｘ＋９＋４Ｙ＋４
３Ｘ２＋６Ｘ＋３Ｙ２－４Ｙ＝１７
Ｘ２＋２Ｘ＋Ｙ２－（４／３）Ｙ＝１７／３
（Ｘ＋１）２＋（Ｙ－（２／３））２＝（１７／３）＋１＋（２／３）２
（Ｘ＋１）２＋（Ｙ－（２／３））２＝（５１／９）＋（９／９）＋（４／９）
（Ｘ＋１）２＋（Ｙ－（２／３））２＝（８／３）２ （式２）
ここで、この円は、下の図のようになる。
Ｐ点がこの円上の全範囲を移動するかどうか、Ｑ点の位置が移動する場合にＰ点がどこに来るかを図を見ながら検討する。
この図の場合は、点Ｑが円ｘ２＋ｙ２＝１の全円周上を移動する場合に、ＡＰ＝２ＰＱの関係を満足する点Ｐも（式２）の全円周上を動くことが図からわかる。
