円順列とじゅず順列の数を求めます。
【問３】
（１）●３個と○３個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。
（１）先ず、円順列の数を求めます。
●と○を並べる席が３＋３＝６箇所あります。
６つの席が固定されているならば、●３つを並べる組み合わせの数は、
６Ｃ３＝６×５×４／（３×２）＝２０通り
あります。
席への●と○の１つの配置は回転させると、固定した席に対しては異なる配置になります。
そのため、席を固定して配置した場合の数は、１つの配置が回転した数がだぶって数えられています。
この場合に、回転することによってできる配置の数は６倍あります。
そのため、先に固定した席の組み合わせを計算して得た２０通りの組み合わせのうち、１つの回転から６倍の配置ができる組み合わせの数は６で割り算して数えます。
それは下の図のような●の配置の場合です。
（第１のタイプの配置）
一方、この３つの●の配置の形のうち、
２分の１回転で元の形と同じ形になるものはありませんが、
３分の１回転で元の形と同じ形になるものがあります。
それは下の図のような●の配置の場合です。
（第２のタイプの配置）
このタイプの配置は、３分の１回転で元の形と同じ形になり、それが回転してできる配置の数は２倍になります。
このタイプの形は、回転することで２倍の配置ができるので、その配置の円順列の数は、
回転してできる全部の配置の数を２で割り算して数えます。
この第２のタイプの配置の円順列の数は上図に示した１つのみです。
（第１のタイプの配置の数）
それ以外の第１のタイプの配置は１回転（３６０°の回転）しないと元の形と同じにはなりません。
それらが回転してできる配置の数は、
回転で６倍に増えた第１のタイプの配置の数
＝（全部の配置の数）－（回転して２倍の数になった第２のタイプの配置の数）
＝６Ｃ３－（１×２）＝２０－２＝１８
です。
（第１のタイプの配置の円順列の数）
その数を６で割り算することで、第１のタイプの配置の円順列の数が得られます。
第１のタイプの配置の円順列の数＝１８／６＝３
（全部の円順列の数）
一方、第２のタイプの配置の円順列の数は１個でした。
そのため、全部の円順列の数は、
円順列の数＝３＋１＝４
（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円を半分に分ける線でその円順列の配置を対称に折り返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。
（第３のタイプの配置）
下の形の場合は、円を折り返してできる配置の形が、元の配置を回転することではできない形になります。
円配列では、この形と、これを折り返した形が別の配置として２個と数えられています。
（第４のタイプの配置）
それ以外の形の配置は、折り返した形が、元の配置を回転しても作れます。
すなわち、３つの●の配置の中点と円の中心を通る折り返し線で折り返した形は、折り返す前の配置と重なる同じ形になります。
これを第４のタイプの配置と呼びます。
このような対称な形の配置は以下の２つのみです。
第４のタイプの配置はじゅず順列でも円順列でも同じ２個の数と数えられています。
第３のタイプのじゅず順列の配置は円順列では２倍に数えられています。
そのため、第３のタイプのじゅず順列の数は、
第３のタイプのじゅず順列の数＝
｛円順列の総数－（第４のタイプのじゅず順列の数）｝／２
＝（４－２）／２＝１
一方、第４のタイプのじゅず順列の数は２個です。
そのため、じゅず順列の数は、
じゅず順列の数＝１＋２＝３
