佐藤の数学教科書「数列」編の勉強
【問２】
１２＋２２＋３２＋・・・＋ｎ２＝Ｇ（ｎ）とする公式を求めよ。
ａｋ＝ｋ２の和（ｋ＝１～ｎ）を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
ａｋ＝ｂｋ－ｂ（ｋ＋１）
とあらわせるｂｋの式を考えて解きます。
ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４
＝（ｂ１－ｂ２）＋（ｂ２－ｂ３）＋（ｂ３－ｂ４）＋（ｂ４－ｂ５）
＝ｂ１－ｂ５
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。
ａｋ＝ｂｋ－ｂ（ｋ＋１）＋ｆ（ｋ）
となって、ｆ（ｋ）という項が余っても、その項の和の公式がわかっていれば、それでも問題が解けます。
－（ｋ－１）ｋ２＋ｋ（ｋ＋１）２
を考える。
－（ｋ－１）ｋ２＋ｋ（ｋ＋１）２
＝ｋ｛－（ｋ－１）ｋ＋（ｋ＋１）２｝
＝ｋ｛３ｋ＋１｝
となるから、
ｋ２＝（１／３）｛－（ｋ－１）ｋ２＋ｋ（ｋ＋１）２－ｋ｝
である。
つまり、
ａｋ＝ｋ２の場合において、
ａｋ＝ｂｋ－ｂ（ｋ＋１）－（ｋ／３）
とあらわせる
ｂｋ＝－（１／３）（ｋ－１）ｋ２
という式が得られた。
－（ｋ／３）という項が余っているが、この余った項の和を求める公式は既に知っている（ｋの和はｎ（ｎ＋１）／２）ので問題が解ける。
これを使って、以下の答えが得られる。
ａｋ＝ｋ２の和（ｋ＝１～ｎ）は、
ｂ１－ｂ（ｎ＋１）－（ｋ／３）の和
＝（１／３）｛－０×１２｝＋（１／３）｛ｎ（ｎ＋１）２｝
－｛ｎ（ｎ＋１）／２｝／３
＝（１／３）｛ｎ（ｎ＋１）２－ｎ（ｎ＋１）／２｝
＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）｛（ｎ＋１）－（１／２）｝
＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋（１／２））
（解答おわり）
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