佐藤の数学教科書「数列」編の勉強
【問１】
１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２を証明せよ。
ａｋ＝ｋの和（ｋ＝１～ｎ）を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
ａｋ＝ｂｋ－ｂ（ｋ＋１）
とあらわせるｂｋの式を考えて解きます。
ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４
＝（ｂ１－ｂ２）＋（ｂ２－ｂ３）＋（ｂ３－ｂ４）＋（ｂ４－ｂ５）
＝ｂ１－ｂ５
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。
－（ｋ－１）ｋ＋ｋ（ｋ＋１）
を考える。
－（ｋ－１）ｋ＋ｋ（ｋ＋１）
＝ｋ｛－（ｋ－１）＋（ｋ＋１）｝
＝２ｋ
となるから、
ｋ＝（１／２）｛－（ｋ－１）ｋ＋ｋ（ｋ＋１）｝
である。
つまり、
ａｋ＝ｋの場合において、
ａｋ＝ｂｋ－ｂ（ｋ＋１）
とあらわせる
ｂｋ＝－（１／２）（ｋ－１）ｋ
という式が得られた。
これを使って、以下の答えが得られる。
ａｋ＝ｋの和（ｋ＝１～ｎ）は、
ｂ１－ｂ（ｎ＋１）
＝（１／２）｛－０×１＋ｎ（ｎ＋１）｝
＝（１／２）ｎ（ｎ＋１）
（証明おわり）
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