佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第４講 ２次方程式の解と複素数
【問】次の式を因数分解せよ。
ｘ２＋２ｘ＋２
この式は以下のように変形して解きます。
ｘ２＋２Ｘ＋２
＝ｘ２＋２Ｘ＋１＋１
＝（ｘ＋１）２＋１
《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
＝（（ｘ＋１）－ｉ）（（ｘ＋１）＋ｉ）
＝（ｘ＋１－ｉ）（ｘ＋１＋ｉ）
ここで使った数 ｉ は虚数です。
ｉ×ｉ＝－１
という、２乗すると負になる数です。
１－ｉとか１＋ｉといった数は実数の１と虚数のｉを混ぜた数であって、この数を複素数と呼びます。
上のようにして因数分解することで、全ての二次方程式を因数分解できるようになります。
なお、１＋ｉと１－ｉは互いに共役（きょうやく）な複素数と呼びます。
（１＋ｉ）・（１－ｉ）＝１－（－１）＝２
（１＋ｉ）＋（１－ｉ）＝２
というように、
互いに共役（きょうやく）な複素数は、掛け算しても実数になり、
足し算しても実数になる性質を持ちます。
ａ＋ｂ・ｉ≡ｚ
として、実数ａとｂを使ってあらわした複素数をｚと名付けたとき、
複素数ｚ＝ａ＋ｂ・ｉに共役な複素数（ａ－ｂ・ｉ）は上線付きのｚ記号であらわします。
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