佐藤の数学教科書「微分」編の勉強
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)
【難問】4次曲線
y= x4-x2+x (式1)
に、直線
y=ax+b (式2)
が相異なる2点で接するときa、bの値を求めよ。
(解答の方針)
問題の条件をあらわす方程式の形に従って、問題の解き方が決まってしまう。問題を解き易い形に問題の条件をあらわすには、問題の条件を可能な限り図形であらわして問題の条件をどういう図形であわらすかを工夫することが大切です。
この問題では、グラフを想像しながら方程式(のあらわすグラフ)を変形して問題を解くことが大切なポイントです。
4次曲線は、上の図のようにあらわせる。
式1に式2を代入すると、
x4-x2+x=ax+b
x4-x2+(1-a)x-b=0 (式3)
この式3が、接点のx座標x=αとx=βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根であることが、式2の直線が式1のグラフに2点で接する接線になる条件である。
ここで、そのような式3を求めるということは、
y=x4-x2+(1-a)x-b=0 (式4)
という4次曲線がx軸と2点で接する条件を求めることと同じである。
(1)4次曲線は、座標軸xを平行移動することで、3次の項が無い式になる(式1は既にそうなっている)。
(2)次に、その4次曲線はxの1次の項を無くせば、y軸に関して、x方向の左右で対称な形のグラフになる。そのグラフは、x軸に平行な直線に2点で接する。
すなわち、式3のxの項の(1-a)=0にすれば、x軸に平行な線に接するグラフになる。
(3)そうすれば、y軸に関して、x軸方向で左右対称なグラフになるので、接点のx座標はαと-αとになる。
つまり、式4は、
y=((x-α)(x+α))2+C
y=(x2-α2)2+C
というグラフになる。
このC=0とするように、値bを調整したグラフにすれば、そのグラフはx軸に2点で接する。
そのようにグラフを変形するように、aとbを定めれば良い。
(解答)
(1)
式1に式2を代入すると、
x4-x2+x=ax+b
x4-x2+(1-a)x-b=0 (式3)
この式3が、接点のx座標x=αとx=βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根を持つことが、式2の接線に対して成り立つ条件である。
その条件は、
y=x4-x2+(1-a)x-b=0 (式4)
という4次曲線がx軸と2点で接する条件を求めることと同じである。
(2)
先ず、
a=1 (式5)
とすると、
式4は、以下の式になる。
y=x4-x2-b=0 (式6)
この式6のグラフはx軸に平行な線に2点で接するグラフである。
この式6を変形する。
y=(x2-(1/2))2-(1/4)-b=0 (式7)
(3)
次に、
b=-1/4 (式8)
とすると、
式7は以下の式になる。
y=(x2-(1/2))2=0 (式9)
この式9はx軸と2点で接するグラフである。
その接点のx座標は、
x2-(1/2)=0
x=±√2/2
このように、式4で、a=1、b=-1/4としたら、x軸にx=±√2/2で接する式9のグラフになったので、求める直線のaとbは、
a=1 (式5)
b=-1/4 (式8)
である。
(解答おわり)
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