佐藤の数学教科書「数列」編の勉強
【問１】
（１×２）＋（２×３）＋（３×４）＋・・・＋ｎ（ｎ＋１）＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）を証明せよ。
【問２】
（１×２×３）＋（２×３×４）＋（３×４×５）＋・・・＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）＝（１／４）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）を証明せよ。
【問３】
（１×２×３×４）＋（２×３×４×５）＋（３×４×５×６）＋・・・＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）＝（１／５）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）（ｎ＋４）を証明せよ。
（解答）
【問１】
ａｋ＝ｋ（ｋ＋１）の和（ｋ＝１～ｎ）を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
ａｋ＝ｂｋ－ｂ（ｋ＋１）
とあらわせるｂｋの式を考えて解きます。
ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４
＝（ｂ１－ｂ２）＋（ｂ２－ｂ３）＋（ｂ３－ｂ４）＋（ｂ４－ｂ５）
＝ｂ１－ｂ５
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。
－（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）＋ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）
を考える。
－（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）＋ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）
＝ｋ（ｋ＋１）｛－（ｋ－１）＋（ｋ＋２）｝
＝ｋ（ｋ＋１）｛３｝
となるから、
ｋ（ｋ＋１）＝（１／３）｛－（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）＋ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）｝
である。
つまり、
ａｋ＝ｋ（ｋ＋１）の場合において、
ａｋ＝ｂｋ－ｂ（ｋ＋１）
とあらわせる
ｂｋ＝－（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）
という式が得られた。
これを使って、以下の答えが得られる。
ａｋ＝ｋ（ｋ＋１）の和（ｋ＝１～ｎ）は、
（１／３）｛ｂ１－ｂ（ｎ＋１）｝
＝（１／３）｛－０×１×２＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）｝
＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）
（証明おわり）
問２以降も同様に証明できる。
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