佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第４講 ２次方程式の解と複素数
【問】次の式を解け。
√（ｉ） （式１）
この式１の解は実数ａとｂを使って以下の式２であらわせると仮定して解きます。
√（ｉ）＝ａ＋（ｂ・ｉ） （式２）
両辺を二乗する。
ｉ＝（ａ＋（ｂ・ｉ））２
ｉ＝ａ２＋２ａ・ｂ・ｉ＋（ｂ・ｉ）２
ｉ＝ａ２＋２ａ・ｂ・ｉ－ｂ２
ｉ＝２ａ・ｂ・ｉ＋ａ２－ｂ２
上の式の実数の係数で以下の式４が成り立ち、虚数の係数で式３がなりたつ。
ｉ＝２ａ・ｂ・ｉ （式３）
０＝ａ２－ｂ２ （式４）
式４から、
ａ＝±ｂ （式５）
式５を式３に代入する。
ｉ＝±２ｂ２・ｉ
ｉ＝２ｂ２・ｉ
（ａ＝ｂ のみ成りたつ）
１＝２ｂ２
１／２＝ｂ２
±１／√２＝ｂ
ａ＝±１／√２
よって、式２は、以下の式である。
《複素数平面》
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
その平面上の点で複素数をあらわします。
上図のように、例えば、虚数 ｉ や、（１＋ｉ）／√２などの複素数を複素数平面上の点であらわします。
この複素平面で、実軸の右側にある数”１”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と０をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数ｚを、|ｚ|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例 |ｉ|＝１
上の図には、虚数ｉの平方根である（１＋ｉ）／√２があらわされていますが、（１＋ｉ）／√２の絶対値は１であって、（１＋ｉ）／√２は、０を中心とする半径１の円上にあります。
しかも、（１＋ｉ）／√２の実軸と成す角度は４５度で、０と１を結ぶ線（実軸）と、０とｉを結ぶ線（虚軸）が成す角９０度のちょうど半分です。
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