佐藤の数学教科書「数列」編の勉強
三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)の応用問題です。
【問1】以下の三角関数の式の数列の和を与える式を求めよ。
(解答)
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。
(解答おわり)
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三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)の応用問題です。
【問1】以下の三角関数の式の数列の和を与える式を求めよ。
(解答)
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。
(解答おわり)
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複素数の計算を推進する以下の公式を導きだしましょう。
(第1優先事項)
複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第1優先にしましょう。
(優先順位の2位以下のこと)
それよりは優先順位が低いことですが、以下のような、複素数平面の計算の公式の導き出し方を身に付けると、少しは計算が推進されます。
先ず、以下の式の左辺の形の式の組み合わせを見たら、条件反射で右辺の式に変換して(実数を基準にして)考える習慣をつけてください。
以下の公式も、簡単に導き出せるようになればとても良いと思います。
以下の公式も導き出してください。
複素数sとrの絶対値が等しく、s+r=zの場合以下の公式も導き出してください。
以下の公式も導き出してください。
以下の公式も複素数の計算により導き出すことはできます。
しかし、この公式は、以下の図から、明らかです。
この図を書く方が、複素数の計算をするよりも速く公式を導き出す事ができます。
この例の様に、多くの複素数平面の公式は、図から明らかな場合が多いです。
そのため、複素数平面の問題を解く場合は、「複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。」を優先させる方が速やかに解答が得られる場合が多い事に注意しましょう。
この後の公式は、説明が長くなったので以下のページに分割して記載しました。
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【問2】
12+22+32+・・・+n2=G(n)とする公式を求めよ。
ak=k2の和(k=1~n)を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
ak=bk-b(k+1)
とあらわせるbkの式を考えて解きます。
a1+a2+a3+a4
=(b1-b2)+(b2-b3)+(b3-b4)+(b4-b5)
=b1-b5
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。
ak=bk-b(k+1)+f(k)
となって、f(k)という項が余っても、その項の和の公式がわかっていれば、それでも問題が解けます。
-(k-1)k2+k(k+1)2
を考える。
-(k-1)k2+k(k+1)2
=k{-(k-1)k+(k+1)2}
=k{3k+1}
となるから、
k2=(1/3){-(k-1)k2+k(k+1)2-k}
である。
つまり、
ak=k2の場合において、
ak=bk-b(k+1)-(k/3)
とあらわせる
bk=-(1/3)(k-1)k2
という式が得られた。
-(k/3)という項が余っているが、この余った項の和を求める公式は既に知っている(kの和はn(n+1)/2)ので問題が解ける。
これを使って、以下の答えが得られる。
ak=k2の和(k=1~n)は、
b1-b(n+1)-(k/3)の和
=(1/3){-0×12}+(1/3){n(n+1)2}
-{n(n+1)/2}/3
=(1/3){n(n+1)2-n(n+1)/2}
=(1/3)n(n+1){(n+1)-(1/2)}
=(1/3)n(n+1)(n+(1/2))
(解答おわり)
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【問1】
1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2を証明せよ。
ak=kの和(k=1~n)を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
ak=bk-b(k+1)
とあらわせるbkの式を考えて解きます。
a1+a2+a3+a4
=(b1-b2)+(b2-b3)+(b3-b4)+(b4-b5)
=b1-b5
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。
-(k-1)k+k(k+1)
を考える。
-(k-1)k+k(k+1)
=k{-(k-1)+(k+1)}
=2k
となるから、
k=(1/2){-(k-1)k+k(k+1)}
である。
つまり、
ak=kの場合において、
ak=bk-b(k+1)
とあらわせる
bk=-(1/2)(k-1)k
という式が得られた。
これを使って、以下の答えが得られる。
ak=kの和(k=1~n)は、
b1-b(n+1)
=(1/2){-0×1+n(n+1)}
=(1/2)n(n+1)
(証明おわり)
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【問1】
1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2を証明せよ。
【問2】
12+22+32+・・・+n2=n(n+(1/2))(n+1)/3を証明せよ。
(この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります)
【問3】13+23+33+・・・+n3=n2(n+1)2/4を証明せよ。
【問4】
14+24+34+・・・+n4
=n(n+(1/2))(n+1)(n2+n-(1/3))/5を証明せよ。
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