ε-δ論法の論理式の意味
【問１】
数列 (a_n) の極限αを定義する式に関して：
∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n>N)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (1)
∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≧M)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (2)
(1) ⇔ (2)を証明せよ。
【証明開始】
∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n>N)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (1)
⇔
∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≦N)∪(|(a_n)−α|<ε)]… (1b)
である。
また、
∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≧M)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (2)
⇔
∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n<M)∪(|(a_n)−α|<ε)]… (2b)
である。
先ず、式(1b)を同値変形する。
任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
(∀n∊{1,2,・・・N},{Pn})⇔(P1∩P2∩・・・PN)
が成り立つ。すなわち、命題P1から命題PNが連立される。
そのため、
∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≦N)∪(|(a_n)−α|<ε)]… (1b)
という論理式は、以下の連立論理式を意味する。
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=1[(1≦N)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=2[(2≦N)]
・・・
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N[(N≦N)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+1[(N+1≦N)∪(|(a_n)−α|<ε)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+2[ |(a_n)−α|<ε]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+3[ |(a_n)−α|<ε]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+4[ |(a_n)−α|<ε]
・・・
という連立論理式全てが成り立つという意味である。
これは、以下の連立論理式と同値。
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+1[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+2[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+3[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+4[(|a_n−α|<ε)]
・・・
任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
(∃n∊{1,2,・・・N},{Pn})⇔(P1∪P2∪・・・PN)
が成り立つ。すなわち、命題P1から命題PNの和集合になる。
そのため、
上の連立論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, N=1, n=2[ |(a_2)−α|<ε]
∀ε>0, N=1, n=3[ |(a_3)−α|<ε]
∀ε>0, N=1, n=4[ |(a_4)−α|<ε]
・・・」
∪
「∀ε>0, N=2, n=3[(|(a_3)−α|<ε)]
∀ε>0, N=2, n=4[(|(a_4)−α|<ε)]
∀ε>0, N=2, n=5[(|(a_5)−α|<ε)]
・・・」
∪
「∀ε>0, N=3, n=4[(|(a_4)−α|<ε)]
∀ε>0, N=3, n=5[(|(a_5)−α|<ε)]
∀ε>0, N=3, n=6[(|(a_6)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・
この論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, N=100, n=101[(|(a_101)−α|<ε)]
∀ε>0, N=100, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, N=100, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
・・・」
∪
「∀ε>0, N=101, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, N=101, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
∀ε>0, N=101, n=104[(|(a_104)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・
更に、この論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, n=101[|(a_101)−α|<ε]
∀ε>0, n=102[|(a_102)−α|<ε]
∀ε>0, n=103[|(a_103)−α|<ε]
・・・」
∪
「∀ε>0, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
∀ε>0, n=104[(|(a_104)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・
この連立論理式の和集合を、第１の論理式とする。
次に、式(2b)を同値変形する。
任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
(∀n∊{1,2,・・・N},{Pn})⇔(P1∩P2∩・・・PN)
が成り立つ。すなわち、命題P1から命題PNが連立される。
そのため、
∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n<M)∪(|(a_n)−α|<ε)]… (2b)
という論理式は、以下の連立論理式を意味する。
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=1[(1<M)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=2[(2<M)]
・・・
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M[(n<M)∪(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+1[(M+1<M)∪(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+2[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+3[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+4[(|a_n−α|<ε)]
・・・
という連立論理式全てが成り立つという意味である。
これは、以下の連立論理式と同値。
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+1[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+2[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+3[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+4[(|a_n−α|<ε)]
・・・
任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
(∃n∊{1,2,・・・N},{Pn})⇔(P1∪P2∪・・・PN)
が成り立つ。すなわち、命題P1から命題PNの和集合になる。
そのため、
上の連立論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, M=1, n=1[|(a_1)−α|<ε]
∀ε>0, M=1, n=2[|(a_2)−α|<ε]
∀ε>0, M=1, n=3[|(a_3)−α|<ε]
・・・」
∪
「∀ε>0, M=2, n=2[|(a_2)−α|<ε]
∀ε>0, M=2, n=3[|(a_3)−α|<ε]
∀ε>0, M=2, n=4[|(a_4)−α|<ε]
・・・」
∪
「∀ε>0, M=3, n=3[|(a_3)−α|<ε]
∀ε>0, M=3, n=4[|(a_4)−α|<ε]
∀ε>0, M=3, n=5[|(a_5)−α|<ε]
・・・」
∪
・・・
この論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, M=101, n=101[(|(a_101)−α|<ε)]
∀ε>0, M=101, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, M=101, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
・・・」
∪
「∀ε>0, M=102, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, M=102, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
∀ε>0, M=102, n=104[(|(a_104)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・
更に、この論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, n=101[(|(a_101)−α|<ε)]
∀ε>0, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
・・・」
∪
「∀ε>0, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
∀ε>0, n=104[(|(a_104)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・
この連立論理式の和集合は、第１の論理式と同値である。
よって、
(1) ⇔ (2)が証明された。
（証明おわり）
リンク：
１９世紀の解析学における「厳密化革命」とは何か
ε-δ論法の誕生
【ε論法】関数の連続性とδのテクニック
連続関数の定義
高校数学の目次
新型コロナウイルス感染対策
数列 (a_n) の極限αを定義する式に関して：
∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n>N)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (1)
∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≧M)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (2)
(1) ⇔ (2)を証明せよ。
【証明開始】
∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n>N)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (1)
⇔
∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≦N)∪(|(a_n)−α|<ε)]… (1b)
である。
また、
∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≧M)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (2)
⇔
∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n<M)∪(|(a_n)−α|<ε)]… (2b)
である。
先ず、式(1b)を同値変形する。
任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
(∀n∊{1,2,・・・N},{Pn})⇔(P1∩P2∩・・・PN)
が成り立つ。すなわち、命題P1から命題PNが連立される。
そのため、
∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≦N)∪(|(a_n)−α|<ε)]… (1b)
という論理式は、以下の連立論理式を意味する。
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=1[(1≦N)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=2[(2≦N)]
・・・
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N[(N≦N)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+1[(N+1≦N)∪(|(a_n)−α|<ε)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+2[ |(a_n)−α|<ε]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+3[ |(a_n)−α|<ε]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+4[ |(a_n)−α|<ε]
・・・
という連立論理式全てが成り立つという意味である。
これは、以下の連立論理式と同値。
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+1[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+2[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+3[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+4[(|a_n−α|<ε)]
・・・
任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
(∃n∊{1,2,・・・N},{Pn})⇔(P1∪P2∪・・・PN)
が成り立つ。すなわち、命題P1から命題PNの和集合になる。
そのため、
上の連立論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, N=1, n=2[ |(a_2)−α|<ε]
∀ε>0, N=1, n=3[ |(a_3)−α|<ε]
∀ε>0, N=1, n=4[ |(a_4)−α|<ε]
・・・」
∪
「∀ε>0, N=2, n=3[(|(a_3)−α|<ε)]
∀ε>0, N=2, n=4[(|(a_4)−α|<ε)]
∀ε>0, N=2, n=5[(|(a_5)−α|<ε)]
・・・」
∪
「∀ε>0, N=3, n=4[(|(a_4)−α|<ε)]
∀ε>0, N=3, n=5[(|(a_5)−α|<ε)]
∀ε>0, N=3, n=6[(|(a_6)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・
この論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, N=100, n=101[(|(a_101)−α|<ε)]
∀ε>0, N=100, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, N=100, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
・・・」
∪
「∀ε>0, N=101, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, N=101, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
∀ε>0, N=101, n=104[(|(a_104)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・
更に、この論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, n=101[|(a_101)−α|<ε]
∀ε>0, n=102[|(a_102)−α|<ε]
∀ε>0, n=103[|(a_103)−α|<ε]
・・・」
∪
「∀ε>0, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
∀ε>0, n=104[(|(a_104)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・
この連立論理式の和集合を、第１の論理式とする。
次に、式(2b)を同値変形する。
任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
(∀n∊{1,2,・・・N},{Pn})⇔(P1∩P2∩・・・PN)
が成り立つ。すなわち、命題P1から命題PNが連立される。
そのため、
∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n<M)∪(|(a_n)−α|<ε)]… (2b)
という論理式は、以下の連立論理式を意味する。
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=1[(1<M)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=2[(2<M)]
・・・
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M[(n<M)∪(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+1[(M+1<M)∪(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+2[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+3[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+4[(|a_n−α|<ε)]
・・・
という連立論理式全てが成り立つという意味である。
これは、以下の連立論理式と同値。
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+1[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+2[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+3[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+4[(|a_n−α|<ε)]
・・・
任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
(∃n∊{1,2,・・・N},{Pn})⇔(P1∪P2∪・・・PN)
が成り立つ。すなわち、命題P1から命題PNの和集合になる。
そのため、
上の連立論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, M=1, n=1[|(a_1)−α|<ε]
∀ε>0, M=1, n=2[|(a_2)−α|<ε]
∀ε>0, M=1, n=3[|(a_3)−α|<ε]
・・・」
∪
「∀ε>0, M=2, n=2[|(a_2)−α|<ε]
∀ε>0, M=2, n=3[|(a_3)−α|<ε]
∀ε>0, M=2, n=4[|(a_4)−α|<ε]
・・・」
∪
「∀ε>0, M=3, n=3[|(a_3)−α|<ε]
∀ε>0, M=3, n=4[|(a_4)−α|<ε]
∀ε>0, M=3, n=5[|(a_5)−α|<ε]
・・・」
∪
・・・
この論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, M=101, n=101[(|(a_101)−α|<ε)]
∀ε>0, M=101, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, M=101, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
・・・」
∪
「∀ε>0, M=102, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, M=102, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
∀ε>0, M=102, n=104[(|(a_104)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・
更に、この論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, n=101[(|(a_101)−α|<ε)]
∀ε>0, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
・・・」
∪
「∀ε>0, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
∀ε>0, n=104[(|(a_104)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・
この連立論理式の和集合は、第１の論理式と同値である。
よって、
(1) ⇔ (2)が証明された。
（証明おわり）
リンク：
１９世紀の解析学における「厳密化革命」とは何か
ε-δ論法の誕生
【ε論法】関数の連続性とδのテクニック
連続関数の定義
高校数学の目次
新型コロナウイルス感染対策
微分積分の礎の関数の連続性と現代数学の位相空間論
やさしい微分積分
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《実数とは》
例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
1970年代の高校数学の参考書「大道を行く数学（解析編）」から、以下の知識が得られる。
[連続の定義]
のとき、関数ｙ＝f(x)は x=a で連続であるという。
また、ｆ(x) がある区間のすべてのｘで連続のとき、その区間で連続であるという。
しかし、(10)式は単なる定義であって、それだけではいろいろな問題を考察するのに不十分であろう。連続について知るには、裏返して不連続である場合を知るのが早道である。不連続の場合は、(10)式が成り立たない場合だから、次の４通りが考えられる。
以下、これらについて、例をもって説明しよう。
例2.9 [x] はｘを越えない最大の整数とする.
どちらも存在しない．このことについては多くを語る必要もないであろう．
例2.10 無限個の項の和が存在するとして定義された関数
は、ｘ≠０のとき、次のような工夫をすると簡単な形にまとめられる．
この関数のグラフは図2.10 の通りである．
不連続な場合、ｆ(x) のグラフは不連続なｘにおいて切れていて、連結していない．このことは逆に連続なときは、グラフはｘにおいて切れ目のない線になっている．また(10)式は、
ｘ－ａが無限小のとき、ｆ(x)－ｆ(a) が無限小
ということである．したがってｆ(x) が連続なところでは
ｘの微小変化に対応し、ｆ(x) が微小変化する
そして、このような関数を連続関数というといいかえても良い．
（参考）藤原松三郎の「微分積分学 第１巻」によると、「ｆ（ｘ）がｘ＝ξで連続でない場合に、ｘ＝ξ（という変数ｘの数直線上の点）をｆ（ｘ）の不連続点という。」と定義されている。
〔定義の役割〕
連続関数とは、第１の条件として、関数の定義域が連結していること、第２の条件として、定義域の点毎に関数ｆ(x) の値域が連結していること。その２つの条件が成り立ちグラフが１つながりに連結している関数ｆ(x) をどのように表すかが連続関数の定義の役割である。
（注意１）関数ｆ(x) の点とは、関数をあらわすグラフ上の点ではなく、変数ｘの数直線上の点である。
（注意２）
「不連続点」の定義は、現代数学の位相空間論の定義では、その不連続なｘの値で関数値ｆ(x) が定義されている場合のみに「不連続点」という言葉を使っている。つまり、古典的（基礎的）な微分積分学における上の例2.8 のｘ＝１の点のように関数値ｆ(1) が定義されていない点は、位相空間論の定義では不連続点とは呼んでいない。（しかし、後に説明するように、これは誤りである）
〔古典的（基礎的）微分積分学〕
古典的（基礎的）微分積分学では、関数の連続性の定義は、〔定義の役割〕における２つの条件が満足されるように定義する。先ず、第１の条件を満足するために、変数ｘの点ａの近傍で実数が連結する区間内（連結する全ての実数）での極限を用いる。次に、第２の条件を満足するように、式(10)によって関数ｆ(x) の連続性を定義している。
「区間で定義された関数f(x)が、その区間のすべてのｘの値で古典的（基礎的）な連続性があるとき、f(x)は古典的（基礎的）な微分積分学で定義された連続関数である」
そして、実数上のｘ＝ａの点で関数ｆ(x) の連続性の条件が満たされない場合を、その（実数上の）点ａを、不連続点と呼んでいる。
実数上のｘ＝ａの点は、関数ｆ(x) の連続な点であるか、関数ｆ(x) の不連続点（当ブログでは「連続でない点」と呼ぶ）かの２つの場合のどちらかである。
すなわち、あるｘの点が不連続である条件は、そのｘの点が連続でないことである。
古典的（基礎的）微分積分学は、実数全体の数の集合に基づいて解析することで、関数の性質の解析の見通しを良くしています。
〔位相空間論によって再構築した微分積分学〕
（微分積分を学び始めた高校生はこれ以降は読まないで良い）
一方で、位相空間論によって再構築した微分積分学は、位相空間の数の集合（限定された数）のみに基づいて関数の性質を解析するので、関数の解析の見通しが極めて悪い。手探りで関数を解析するので間違え易いという特徴があります。
位相空間論によって再構築した微分積分学では、関数の連続性の定義は、〔定義の役割〕における２つの条件のうちの第２の条件のみを満足する定義である。
すなわち、例えば位相空間の数の集合を有理数のみ（数の集合が連結しない）に定めても良く、関数ｆ(x) の定義域はその数の集合の部分集合に限られる。そのようにして定義域の連結性が要求されていない。
そして、式(10) により値域の連続性を定義する。
すなわち、独立変数ｘ及び点ａが、位相空間の数の集合（例えば有理数）に属する場合のみを考える。そして、関数ｆ(x) の定義域は位相空間の数の集合の部分集合に限られ、点ｘ及び点ａは定義域内の点である。式(10) は、その点ｘが限りなく点ａ近づくときに、ｆ(x) が限りなくｆ(a) に近づくという関係があることによって関数ｆ(x) の値域の連続性を表している。
「関数 f(x) が、その関数ｆ(x) の定義域のすべての x =ａの値で位相空間論的な連続性があるとき、 f(x) は位相空間論で定義された連続関数である」
そして、例えば有理数の位相空間の数の集合に属するｘ＝ａの点で関数ｆ(x) の連続性の条件が満たされない場合を、その点ａを、不連続点と呼んでいる。
位相空間の数の集合（有理数）に属するｘ＝ａの点は、
①関数ｆ(x) の定義域に属さない点ａの不連続点であるか、
②定義域上の点ａであって関数ｆ(x) の連続な点であるか、
③定義域上の点ａであって関数ｆ(x) の不連続点であるか、
の３つの場合のどれかである。
（４つ目の場合として、例えば無理数のｘ＝βの点などの、有理数の位相空間の数の集合に属さない点βについては、位相空間の数の集合に属さないので存在しない数とみなす。その点βについては言及しない）
位相空間論では、（３°の）関数ｆ(x)＝1/x において、点ｘ＝０は、関数ｆ(x) の定義域内の点ではないが、位相空間の数の集合（有理数や実数）に属する点なので、不連続点である。
すなわち、あるｘの点が不連続である条件は、
（１）先ず、そのｘの点が位相空間の数の集合に属する点であること。
（２）次に、そのｘの点が連続でないこととの、
２つの条件を満足する必要がある。
点ｘ＝０は、その２つの条件を満足するので不連続点である。
（点の種別の定義付けの心）
位相空間論での「不連続点」の厳密な定義は、定められた位相空間の数の集合だけで議論することである。その位相空間の数の集合に属するｘの点は、関数ｆ(x) の定義域に属するか、定義域に属さないかの何れかである。
位相空間論は、（１°）の、変数ｘの定義域に属さない「取除きうる不連続点ａ」については、その点ａが位相空間の数の集合に属する場合は、関数ｆ(x) の定義域の外の「境界点」とする。
その「境界点」は連続な点ではないので「不連続点」である。かくして、位相空間論では、定義域の外の境界点を「不連続点」と定義付ける。
しかしながら、有理数のみの位相空間においては、以下の図の関数のｘ＝√2 の点は無理数であって、その位相空間の数の集合に属さない。
この場合は関数ｆ(x) の有理数の「境界点」が存在しないので、有理数の位相空間の不連続点も存在しないことに注意すべきである。古典的（基礎的）微分積分学の視点（実数を数の集合とする位相空間）で見ると、この図の関数（厳密に言うと無理数でも定義された関数の場合）は、無理数の境界点で分割された３つの異なる連続関数から成ることがわかる。
（注意３）
位相空間論の説明において、位相空間の数の集合に属する点であって「不連続点」の資格がある点の一部の、数ｆ(x) の定義域に属する点のみを「不連続点」と説明する誤りが流通している。（そういう誤りを基礎的微分積分学（高校数学）に混ぜないでほしい）。そういう誤りに巻き込まれないために、古典的（基礎的）な微分積分学が定義する「不連続点」や、（位相空間論においても）定義域を連結させない境界点の「不連続点」は、このブログでは、「連続でない点」と呼ぶことにして数学用語を明確にする。
（補足）
なお、位相空間論で点の連続性を厳密に議論するためには、関数の定義域に属する「連続でない点」と、関数の定義域の外の（位相空間の数の集合には属する）「連続でない点」とは性格が異なる点であるので区別して考えた方が良い。
特に、連続関数の連続性を、位相空間論では独立変数ｘの連結性と従属変数ｙの連結性（位相空間論の連続関数の定義による）に分けて扱った。そのため、関数ｆ(x) が定義されている点の不連続点は、すなわち従属変数ｙの連結性のみが損なわれた不連続点は、「位相空間論の不連続点」と呼ぶのが適切であろう。関数ｆ(x) が定義されない点などの、独立変数ｘの連結性が損なわれた点の不連続点は、ｘの連結性が損なわれているだけでなく同時にｙの連結性も損なわれている場合（上図のグラフ：実数の位相空間の場合）もあるので、定義付けが難しい。「位相空間論以外の不連続点」と呼ぶのが適切であろう。
【微分積分の初心者には、位相空間論の議論が破綻しているように見える】
位相空間論では、極限の概念を、例えば変数ｘの位相空間の数の集合を有理数のみとした場合に、変数ｘが限りなく近づく先を有理数のみに限定するなどの、極限の宛先を位相空間の数の集合に属する点ａのみに限定している。位相空間の数の集合が有理数のみであるということは、数同士の距離が近いか遠いかの関係が有理数同士の間でのみ定義されているからである。
位相空間論では、位相空間の数の集合を有理数のみにしている場合に、その有理数の点の数列の極限を位相空間の数の集合以外の新たな数（無理数β）に向ける操作を認めない。（無理数βは有理数ではないのだから）数列の極限の数βが存在しないとみなして無視しその極限を排除する。そういうルールにより、極限の概念の適用を制限し、数学体系を再構築する。
（厳密に言うと、極限の概念の元になっている数同士の近さの関係を、位相空間の数の集合に属する数同士にしか認めないのが位相空間の概念だからである。もし、近いと思われる新しい数を発見してそれを今までの位相空間の数の集合に加えることは、それまでとは異なる位相空間を設定することになる。なお、近いと思われる新たな数が発見されるならば、それまでの位相空間の数の集合に不備があった、と言える。）
位相空間論は、そのように既存知識（数とは位相空間の数の集合に属する点＝有理数のことである）という思考の枠組みからはみ出さないように極限の操作を制限して構築した数学体系である。
それにより、独立変数ｘを既に定めている数の集合（有理数）の範囲に限定して抽象化した関数ｆ(x) の連続性の性質を調べている。
これは、有理数の数列の極限が有理数でない場合に新しい数（無理数）が発見されたと考えて数の概念を拡張する従来の発想とは全く逆の、（知らない数は存在しないと考える）内向きの発想を基礎にした考え方である。
位相空間論では、関数ｆ(x) の点ａにおける連続性の定義の式(10)の独立変数ｘの極限の宛先の数ａはｘの位相空間の数の集合の点に限定する制限を加えた極限を利用して、抽象化された「位相空間論の関数の連続性」を定義する。
しかし、そうして定義した関数ｆ(x) の連続性には以下の難点がある。
位相空間論での関数の連続性の定義では、以下のグラフであらわされる、有理数を位相空間の数の集合とし、その数の集合全てを定義域とする関数ｆ(x) が、どの有理数の点ａでも連続になる。しかしそのグラフが切れ切れである。
（参考）同様な議論が、「嶺幸太郎 著：微分積分学の試練」の１３０ページにある。
（１３０ページから引用）「なお，単に関数が連続だからといってグラフが繋がるとは限らない．次の例は、連続関数のグラフが繋がるためには定義域自身が繋がっている必要があることを示唆する：例8.5.2」
上のグラフで、ｘ＝√2 の点は、位相空間のｘの数の集合（有理数）に属さない。位相空間論では、位相空間のｘの数の集合に属さない点 ｘ＝√2 は、関数が連続とも、不連続とも評価しない（不連続点とは、位相空間の数の集合に属する点に対して言えることである）。
上図の、位相空間の数の集合を有理数とした場合に、その数の集合をｘの定義域とする関数ｆ(x) は、定義域内（有理数）のどの点においても位相空間論の連続性が満足されている。
図の通りに関数ｆ(x) はｆ(x) の値がｘ＝√2 の点でｆ(x) の値が極端にずれている。しかし、その点は位相空間の数の集合に属さない。この関数ｆ(x) は、有理数の位相空間では連続関数である。位相空間論では、独立変数ｘの数列の極限値がｘの位相空間の数の集合に属さない場合には、その値を数で無いとして無視する。位相空間論では、そのように極限の概念を制限する。有理数の位相空間の数の集合が連結しないことに起因して、この図のようにグラフが切れ切れで繋がっていないことは位相空間論の「連続性の定義」によっては判別できず、この関数を連続関数と呼んでいる。位相空間論の定義する連続関数のグラフが繋がるためには関数の定義域が連結している（〔定義の役割〕の第１の条件を満足する）必要がある。（有理数全体は連結していない）
位相空間論では、上図の関数ｆ(x) の定義域のｘの集合の中の２つの独立したｘの集合Ｂ（-√2<x<√2）と集合Ｃ（√2<x<3√2）を考える。集合ＢとＣが、ｘの境界点β（ｘ＝√2 ）をそれらの集合の共通の境界点としている。その境界点βが集合BにもCにも含まれない場合は、独立変数ｘの定義域の数の集合がその無理数βの点で連結していない。
---〔点ｘの定義域が連結しない条件〕---
点ｘの定義域の集合は左側の集合Ｂと右側の集合Ｃに分割できる。左側の集合Ｂの点を右側に限りなく近づけた先の境界点βは集合Ｂにも集合Ｃにも属さない。また、その境界点βは右側の集合Ｃの点を左側に限りなく近づけた先の境界点でもある。その境界点βが集合Ｂにも集合Ｃにも属さないので、集合Ｂと集合Ｃを合わせた集合は連結しない。
（厳密な議論）
境界点とは、有理数の位相空間の数の集合に属する有理数の点に限られる。数同士の距離が近いか遠いかの関係は、位相空間の数の集合に属する数同士の間でのみ定義されているからである。
無理数βは有理数では無いので、有理数の位相空間の数の集合に属さず、境界点にならない。（注意：この点は、定義域に属さない場合でも、もし位相空間の数の集合に属するならば「境界点」になる）。そのため、集合Ｂと集合Ｃに分割した境目の境界点βは存在しないとみなされる。この場合に位相空間論では、集合Ｂと集合Ｃがともに開集合であることを理由にして（境界点βを考えないで）点ｘの定義域の数の集合が連結しないと認識する。
古典的（基礎的）微分積分学では、定義域の数の集合が無理数の不連続点βによって分断されていると考えるが、位相空間論の微分積分学では、その「分断の原因」を考えない手探りで、定義域が「連結しない」と認識する。（しかし、ある数の集合に関する真実を記述する場合には、その集合を超える要素が必要になる場合があるので、このようなやり方で数の集合に係わる真実を把握することには危うさがある「間違えやすい」と考える）
---（点ｘの定義域が連結しない条件おわり）---
有理数の変数ｘの定義域の数の集合が境界点βで連結していない（境界点βが無理数なので定義域に含まれない）ことが、古典的な微分積分学での「関数ｆ(x) が点βで連続でない」に対応する。
位相空間論には、フェリックス・ハウスドルフの貢献が大きい。
ハウスドルフの書いた集合論の教科書が位相空間論の基礎になっている。ハウスドルフの集合論の教科書を読むと、議論が破綻しているものになっていることに驚く。もちろん、議論の全体としては、(ある意味で?) 破綻をきちんと回避している。
フェリックス・ハウスドルフの研究成果の位相空間論を簡単に理解できると安易には考えずに、その理論が教えようとする心を学んで欲しい。その心の理解のためには、位相空間論を学ぶ以前に、 古典的（基礎的）微分積分学の基礎になっている連続関数の概念は、区間で連続な関数のことである ことを学んでおいて欲しい。
古典的（基礎的）微分積分学で、区間で連続な関数が千切れていなかった性質は、位相空間論によって、関数ｆ(x) の独立変数ｘの定義域の連結性に依存していたことが浮き彫りになった。位相空間論によって、古典的（基礎的）微分積分学で連続関数と定義されていた、区間で連続な関数ｆ(x) の性質が、関数の抽象化された連続性の概念と、関数の独立変数ｘの定義域の抽象化された連結性の概念と、で構成されていることが浮き彫りにされた。
《位相空間論に対する感想１》
有理数の数の集合Ｄの位相空間を定義域とする関数ｆ(x) の連続性を定義するには、現在の位相空間論での定義では無く、以下の式(10) と式(10b) で定義することを考える。ここで、 位相空間の数の集合Ｄに属する独立変数ｘの極限値であって、集合Ｄに属さない無理数をβとする。式(10)と式(10b)で関数の連続性を定義すれば、有理数のみを定義域とする関数ｆ(X) が無理数の点βで途切れることもない連続性が定義できる。なぜ、そのように関数の連続性を定義して理論を作らないのだろうか？式(10b)が成立していることをいちいち確認するのは面倒な作業である。それが、そうしない理由だと思う。
《位相空間論に対する感想２》
実数全体を位相空間の数の集合とし、関数ｆ(x) の定義域を１点の実数ａとする。すなわち、関数ｆ(x) の定義域の数の集合を{a} とする。そして、ｆ(a)＝b とする。この関数ｆ(x) は、位相空間論の連続関数の厳密な定義に従うと、連続関数である。連続性とは異なる点同士の関係であるべきなので、１点だけの連続性は無意味である。そのため位相空間論の関数の連続性の定義には不備があると思う。意味のある情報を得るために、位相空間論の設定・扱いには注意する必要がある。
《関数の連続性の条件》
関数がある点ａで連続であるとは、第１の条件として、関数の定義域が点ａと、ａの近傍で連結していることである。第２の条件として、点ａで関数ｆ(x) の値域が連結していることである。その２つの条件を満足しない点ａは「連続でない点」である。
第１の条件は、変数ｘの点ａが関数ｆ(x) の定義域に含まれることと、ｘ＝ａの近傍の定義域は実数が連結したｘの微小区間であることとを要請する（連結している数の集合は実数の区間だけである）。
第２の条件は、式(10)であらわすように、点ａに限りなく近づく関数ｆ(x) の極限の値がｆ(a) であることを要請する。
古典的（基礎的）微分積分学は、実数全体を位相空間の数の集合にした上で、実数の区間を定義域とする関数ｆ(x) の微分積分学である。
リンク：
連続関数
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
関数の極限の定義
関数の極限と連続性
第3章 位相空間の基礎のキソ
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
高校数学の目次
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《実数とは》
例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
1970年代の高校数学の参考書「大道を行く数学（解析編）」から、以下の知識が得られる。
[連続の定義]
のとき、関数ｙ＝f(x)は x=a で連続であるという。
また、ｆ(x) がある区間のすべてのｘで連続のとき、その区間で連続であるという。
しかし、(10)式は単なる定義であって、それだけではいろいろな問題を考察するのに不十分であろう。連続について知るには、裏返して不連続である場合を知るのが早道である。不連続の場合は、(10)式が成り立たない場合だから、次の４通りが考えられる。
以下、これらについて、例をもって説明しよう。
例2.9 [x] はｘを越えない最大の整数とする.
どちらも存在しない．このことについては多くを語る必要もないであろう．
例2.10 無限個の項の和が存在するとして定義された関数
は、ｘ≠０のとき、次のような工夫をすると簡単な形にまとめられる．
この関数のグラフは図2.10 の通りである．
不連続な場合、ｆ(x) のグラフは不連続なｘにおいて切れていて、連結していない．このことは逆に連続なときは、グラフはｘにおいて切れ目のない線になっている．また(10)式は、
ｘ－ａが無限小のとき、ｆ(x)－ｆ(a) が無限小
ということである．したがってｆ(x) が連続なところでは
ｘの微小変化に対応し、ｆ(x) が微小変化する
そして、このような関数を連続関数というといいかえても良い．
（参考）藤原松三郎の「微分積分学 第１巻」によると、「ｆ（ｘ）がｘ＝ξで連続でない場合に、ｘ＝ξ（という変数ｘの数直線上の点）をｆ（ｘ）の不連続点という。」と定義されている。
〔定義の役割〕
連続関数とは、第１の条件として、関数の定義域が連結していること、第２の条件として、定義域の点毎に関数ｆ(x) の値域が連結していること。その２つの条件が成り立ちグラフが１つながりに連結している関数ｆ(x) をどのように表すかが連続関数の定義の役割である。
（注意１）関数ｆ(x) の点とは、関数をあらわすグラフ上の点ではなく、変数ｘの数直線上の点である。
（注意２）
「不連続点」の定義は、現代数学の位相空間論の定義では、その不連続なｘの値で関数値ｆ(x) が定義されている場合のみに「不連続点」という言葉を使っている。つまり、古典的（基礎的）な微分積分学における上の例2.8 のｘ＝１の点のように関数値ｆ(1) が定義されていない点は、位相空間論の定義では不連続点とは呼んでいない。（しかし、後に説明するように、これは誤りである）
〔古典的（基礎的）微分積分学〕
古典的（基礎的）微分積分学では、関数の連続性の定義は、〔定義の役割〕における２つの条件が満足されるように定義する。先ず、第１の条件を満足するために、変数ｘの点ａの近傍で実数が連結する区間内（連結する全ての実数）での極限を用いる。次に、第２の条件を満足するように、式(10)によって関数ｆ(x) の連続性を定義している。
「区間で定義された関数f(x)が、その区間のすべてのｘの値で古典的（基礎的）な連続性があるとき、f(x)は古典的（基礎的）な微分積分学で定義された連続関数である」
そして、実数上のｘ＝ａの点で関数ｆ(x) の連続性の条件が満たされない場合を、その（実数上の）点ａを、不連続点と呼んでいる。
実数上のｘ＝ａの点は、関数ｆ(x) の連続な点であるか、関数ｆ(x) の不連続点（当ブログでは「連続でない点」と呼ぶ）かの２つの場合のどちらかである。
すなわち、あるｘの点が不連続である条件は、そのｘの点が連続でないことである。
古典的（基礎的）微分積分学は、実数全体の数の集合に基づいて解析することで、関数の性質の解析の見通しを良くしています。
〔位相空間論によって再構築した微分積分学〕
（微分積分を学び始めた高校生はこれ以降は読まないで良い）
一方で、位相空間論によって再構築した微分積分学は、位相空間の数の集合（限定された数）のみに基づいて関数の性質を解析するので、関数の解析の見通しが極めて悪い。手探りで関数を解析するので間違え易いという特徴があります。
位相空間論によって再構築した微分積分学では、関数の連続性の定義は、〔定義の役割〕における２つの条件のうちの第２の条件のみを満足する定義である。
すなわち、例えば位相空間の数の集合を有理数のみ（数の集合が連結しない）に定めても良く、関数ｆ(x) の定義域はその数の集合の部分集合に限られる。そのようにして定義域の連結性が要求されていない。
そして、式(10) により値域の連続性を定義する。
すなわち、独立変数ｘ及び点ａが、位相空間の数の集合（例えば有理数）に属する場合のみを考える。そして、関数ｆ(x) の定義域は位相空間の数の集合の部分集合に限られ、点ｘ及び点ａは定義域内の点である。式(10) は、その点ｘが限りなく点ａ近づくときに、ｆ(x) が限りなくｆ(a) に近づくという関係があることによって関数ｆ(x) の値域の連続性を表している。
「関数 f(x) が、その関数ｆ(x) の定義域のすべての x =ａの値で位相空間論的な連続性があるとき、 f(x) は位相空間論で定義された連続関数である」
そして、例えば有理数の位相空間の数の集合に属するｘ＝ａの点で関数ｆ(x) の連続性の条件が満たされない場合を、その点ａを、不連続点と呼んでいる。
位相空間の数の集合（有理数）に属するｘ＝ａの点は、
①関数ｆ(x) の定義域に属さない点ａの不連続点であるか、
②定義域上の点ａであって関数ｆ(x) の連続な点であるか、
③定義域上の点ａであって関数ｆ(x) の不連続点であるか、
の３つの場合のどれかである。
（４つ目の場合として、例えば無理数のｘ＝βの点などの、有理数の位相空間の数の集合に属さない点βについては、位相空間の数の集合に属さないので存在しない数とみなす。その点βについては言及しない）
位相空間論では、（３°の）関数ｆ(x)＝1/x において、点ｘ＝０は、関数ｆ(x) の定義域内の点ではないが、位相空間の数の集合（有理数や実数）に属する点なので、不連続点である。
すなわち、あるｘの点が不連続である条件は、
（１）先ず、そのｘの点が位相空間の数の集合に属する点であること。
（２）次に、そのｘの点が連続でないこととの、
２つの条件を満足する必要がある。
点ｘ＝０は、その２つの条件を満足するので不連続点である。
（点の種別の定義付けの心）
位相空間論での「不連続点」の厳密な定義は、定められた位相空間の数の集合だけで議論することである。その位相空間の数の集合に属するｘの点は、関数ｆ(x) の定義域に属するか、定義域に属さないかの何れかである。
位相空間論は、（１°）の、変数ｘの定義域に属さない「取除きうる不連続点ａ」については、その点ａが位相空間の数の集合に属する場合は、関数ｆ(x) の定義域の外の「境界点」とする。
その「境界点」は連続な点ではないので「不連続点」である。かくして、位相空間論では、定義域の外の境界点を「不連続点」と定義付ける。
しかしながら、有理数のみの位相空間においては、以下の図の関数のｘ＝√2 の点は無理数であって、その位相空間の数の集合に属さない。
この場合は関数ｆ(x) の有理数の「境界点」が存在しないので、有理数の位相空間の不連続点も存在しないことに注意すべきである。古典的（基礎的）微分積分学の視点（実数を数の集合とする位相空間）で見ると、この図の関数（厳密に言うと無理数でも定義された関数の場合）は、無理数の境界点で分割された３つの異なる連続関数から成ることがわかる。
（注意３）
位相空間論の説明において、位相空間の数の集合に属する点であって「不連続点」の資格がある点の一部の、数ｆ(x) の定義域に属する点のみを「不連続点」と説明する誤りが流通している。（そういう誤りを基礎的微分積分学（高校数学）に混ぜないでほしい）。そういう誤りに巻き込まれないために、古典的（基礎的）な微分積分学が定義する「不連続点」や、（位相空間論においても）定義域を連結させない境界点の「不連続点」は、このブログでは、「連続でない点」と呼ぶことにして数学用語を明確にする。
（補足）
なお、位相空間論で点の連続性を厳密に議論するためには、関数の定義域に属する「連続でない点」と、関数の定義域の外の（位相空間の数の集合には属する）「連続でない点」とは性格が異なる点であるので区別して考えた方が良い。
特に、連続関数の連続性を、位相空間論では独立変数ｘの連結性と従属変数ｙの連結性（位相空間論の連続関数の定義による）に分けて扱った。そのため、関数ｆ(x) が定義されている点の不連続点は、すなわち従属変数ｙの連結性のみが損なわれた不連続点は、「位相空間論の不連続点」と呼ぶのが適切であろう。関数ｆ(x) が定義されない点などの、独立変数ｘの連結性が損なわれた点の不連続点は、ｘの連結性が損なわれているだけでなく同時にｙの連結性も損なわれている場合（上図のグラフ：実数の位相空間の場合）もあるので、定義付けが難しい。「位相空間論以外の不連続点」と呼ぶのが適切であろう。
【微分積分の初心者には、位相空間論の議論が破綻しているように見える】
位相空間論では、極限の概念を、例えば変数ｘの位相空間の数の集合を有理数のみとした場合に、変数ｘが限りなく近づく先を有理数のみに限定するなどの、極限の宛先を位相空間の数の集合に属する点ａのみに限定している。位相空間の数の集合が有理数のみであるということは、数同士の距離が近いか遠いかの関係が有理数同士の間でのみ定義されているからである。
位相空間論では、位相空間の数の集合を有理数のみにしている場合に、その有理数の点の数列の極限を位相空間の数の集合以外の新たな数（無理数β）に向ける操作を認めない。（無理数βは有理数ではないのだから）数列の極限の数βが存在しないとみなして無視しその極限を排除する。そういうルールにより、極限の概念の適用を制限し、数学体系を再構築する。
（厳密に言うと、極限の概念の元になっている数同士の近さの関係を、位相空間の数の集合に属する数同士にしか認めないのが位相空間の概念だからである。もし、近いと思われる新しい数を発見してそれを今までの位相空間の数の集合に加えることは、それまでとは異なる位相空間を設定することになる。なお、近いと思われる新たな数が発見されるならば、それまでの位相空間の数の集合に不備があった、と言える。）
位相空間論は、そのように既存知識（数とは位相空間の数の集合に属する点＝有理数のことである）という思考の枠組みからはみ出さないように極限の操作を制限して構築した数学体系である。
それにより、独立変数ｘを既に定めている数の集合（有理数）の範囲に限定して抽象化した関数ｆ(x) の連続性の性質を調べている。
これは、有理数の数列の極限が有理数でない場合に新しい数（無理数）が発見されたと考えて数の概念を拡張する従来の発想とは全く逆の、（知らない数は存在しないと考える）内向きの発想を基礎にした考え方である。
位相空間論では、関数ｆ(x) の点ａにおける連続性の定義の式(10)の独立変数ｘの極限の宛先の数ａはｘの位相空間の数の集合の点に限定する制限を加えた極限を利用して、抽象化された「位相空間論の関数の連続性」を定義する。
しかし、そうして定義した関数ｆ(x) の連続性には以下の難点がある。
位相空間論での関数の連続性の定義では、以下のグラフであらわされる、有理数を位相空間の数の集合とし、その数の集合全てを定義域とする関数ｆ(x) が、どの有理数の点ａでも連続になる。しかしそのグラフが切れ切れである。
（参考）同様な議論が、「嶺幸太郎 著：微分積分学の試練」の１３０ページにある。
（１３０ページから引用）「なお，単に関数が連続だからといってグラフが繋がるとは限らない．次の例は、連続関数のグラフが繋がるためには定義域自身が繋がっている必要があることを示唆する：例8.5.2」
上のグラフで、ｘ＝√2 の点は、位相空間のｘの数の集合（有理数）に属さない。位相空間論では、位相空間のｘの数の集合に属さない点 ｘ＝√2 は、関数が連続とも、不連続とも評価しない（不連続点とは、位相空間の数の集合に属する点に対して言えることである）。
上図の、位相空間の数の集合を有理数とした場合に、その数の集合をｘの定義域とする関数ｆ(x) は、定義域内（有理数）のどの点においても位相空間論の連続性が満足されている。
図の通りに関数ｆ(x) はｆ(x) の値がｘ＝√2 の点でｆ(x) の値が極端にずれている。しかし、その点は位相空間の数の集合に属さない。この関数ｆ(x) は、有理数の位相空間では連続関数である。位相空間論では、独立変数ｘの数列の極限値がｘの位相空間の数の集合に属さない場合には、その値を数で無いとして無視する。位相空間論では、そのように極限の概念を制限する。有理数の位相空間の数の集合が連結しないことに起因して、この図のようにグラフが切れ切れで繋がっていないことは位相空間論の「連続性の定義」によっては判別できず、この関数を連続関数と呼んでいる。位相空間論の定義する連続関数のグラフが繋がるためには関数の定義域が連結している（〔定義の役割〕の第１の条件を満足する）必要がある。（有理数全体は連結していない）
位相空間論では、上図の関数ｆ(x) の定義域のｘの集合の中の２つの独立したｘの集合Ｂ（-√2<x<√2）と集合Ｃ（√2<x<3√2）を考える。集合ＢとＣが、ｘの境界点β（ｘ＝√2 ）をそれらの集合の共通の境界点としている。その境界点βが集合BにもCにも含まれない場合は、独立変数ｘの定義域の数の集合がその無理数βの点で連結していない。
---〔点ｘの定義域が連結しない条件〕---
点ｘの定義域の集合は左側の集合Ｂと右側の集合Ｃに分割できる。左側の集合Ｂの点を右側に限りなく近づけた先の境界点βは集合Ｂにも集合Ｃにも属さない。また、その境界点βは右側の集合Ｃの点を左側に限りなく近づけた先の境界点でもある。その境界点βが集合Ｂにも集合Ｃにも属さないので、集合Ｂと集合Ｃを合わせた集合は連結しない。
（厳密な議論）
境界点とは、有理数の位相空間の数の集合に属する有理数の点に限られる。数同士の距離が近いか遠いかの関係は、位相空間の数の集合に属する数同士の間でのみ定義されているからである。
無理数βは有理数では無いので、有理数の位相空間の数の集合に属さず、境界点にならない。（注意：この点は、定義域に属さない場合でも、もし位相空間の数の集合に属するならば「境界点」になる）。そのため、集合Ｂと集合Ｃに分割した境目の境界点βは存在しないとみなされる。この場合に位相空間論では、集合Ｂと集合Ｃがともに開集合であることを理由にして（境界点βを考えないで）点ｘの定義域の数の集合が連結しないと認識する。
古典的（基礎的）微分積分学では、定義域の数の集合が無理数の不連続点βによって分断されていると考えるが、位相空間論の微分積分学では、その「分断の原因」を考えない手探りで、定義域が「連結しない」と認識する。（しかし、ある数の集合に関する真実を記述する場合には、その集合を超える要素が必要になる場合があるので、このようなやり方で数の集合に係わる真実を把握することには危うさがある「間違えやすい」と考える）
---（点ｘの定義域が連結しない条件おわり）---
有理数の変数ｘの定義域の数の集合が境界点βで連結していない（境界点βが無理数なので定義域に含まれない）ことが、古典的な微分積分学での「関数ｆ(x) が点βで連続でない」に対応する。
位相空間論には、フェリックス・ハウスドルフの貢献が大きい。
ハウスドルフの書いた集合論の教科書が位相空間論の基礎になっている。ハウスドルフの集合論の教科書を読むと、議論が破綻しているものになっていることに驚く。もちろん、議論の全体としては、(ある意味で?) 破綻をきちんと回避している。
フェリックス・ハウスドルフの研究成果の位相空間論を簡単に理解できると安易には考えずに、その理論が教えようとする心を学んで欲しい。その心の理解のためには、位相空間論を学ぶ以前に、 古典的（基礎的）微分積分学の基礎になっている連続関数の概念は、区間で連続な関数のことである ことを学んでおいて欲しい。
古典的（基礎的）微分積分学で、区間で連続な関数が千切れていなかった性質は、位相空間論によって、関数ｆ(x) の独立変数ｘの定義域の連結性に依存していたことが浮き彫りになった。位相空間論によって、古典的（基礎的）微分積分学で連続関数と定義されていた、区間で連続な関数ｆ(x) の性質が、関数の抽象化された連続性の概念と、関数の独立変数ｘの定義域の抽象化された連結性の概念と、で構成されていることが浮き彫りにされた。
《位相空間論に対する感想１》
有理数の数の集合Ｄの位相空間を定義域とする関数ｆ(x) の連続性を定義するには、現在の位相空間論での定義では無く、以下の式(10) と式(10b) で定義することを考える。ここで、 位相空間の数の集合Ｄに属する独立変数ｘの極限値であって、集合Ｄに属さない無理数をβとする。式(10)と式(10b)で関数の連続性を定義すれば、有理数のみを定義域とする関数ｆ(X) が無理数の点βで途切れることもない連続性が定義できる。なぜ、そのように関数の連続性を定義して理論を作らないのだろうか？式(10b)が成立していることをいちいち確認するのは面倒な作業である。それが、そうしない理由だと思う。
《位相空間論に対する感想２》
実数全体を位相空間の数の集合とし、関数ｆ(x) の定義域を１点の実数ａとする。すなわち、関数ｆ(x) の定義域の数の集合を{a} とする。そして、ｆ(a)＝b とする。この関数ｆ(x) は、位相空間論の連続関数の厳密な定義に従うと、連続関数である。連続性とは異なる点同士の関係であるべきなので、１点だけの連続性は無意味である。そのため位相空間論の関数の連続性の定義には不備があると思う。意味のある情報を得るために、位相空間論の設定・扱いには注意する必要がある。
《関数の連続性の条件》
関数がある点ａで連続であるとは、第１の条件として、関数の定義域が点ａと、ａの近傍で連結していることである。第２の条件として、点ａで関数ｆ(x) の値域が連結していることである。その２つの条件を満足しない点ａは「連続でない点」である。
第１の条件は、変数ｘの点ａが関数ｆ(x) の定義域に含まれることと、ｘ＝ａの近傍の定義域は実数が連結したｘの微小区間であることとを要請する（連結している数の集合は実数の区間だけである）。
第２の条件は、式(10)であらわすように、点ａに限りなく近づく関数ｆ(x) の極限の値がｆ(a) であることを要請する。
古典的（基礎的）微分積分学は、実数全体を位相空間の数の集合にした上で、実数の区間を定義域とする関数ｆ(x) の微分積分学である。
リンク：
連続関数
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
関数の極限の定義
関数の極限と連続性
第3章 位相空間の基礎のキソ
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
高校数学の目次
ベクトルの一次独立とは何か
《ベクトルの一次独立とは何か》
２つの独立したベクトルのことを、「２つの一次独立なベクトル」と呼びます。
２つのベクトルのうちのある１つのベクトルが、他の１つのベクトルの実数倍であらわせる場合は、その２つのベクトルが１次従属である、と呼びます。
２つの独立したベクトルという意味は、そういうことはない、という意味です。
３つの独立したベクトルのことを、「３つの一次独立なベクトル」と呼びます。
３つのベクトルのうちのある１つのベクトルが、他の２つのベクトルの合成であらわせる場合は、その３つのベクトルが１次従属である、と呼びます。
３つの独立したベクトルという意味は、そういうことはない、という意味です。
〔２次元ベクトルの２つのベクトルが１次独立であるとは〕
２つのベクトルが０ベクトルではなく、かつ、同一直線上にはないことです。
〔３次元ベクトルの３つのベクトルが１次独立であるとは〕
３つのベクトルが０ベクトルではなく、かつ、同一平面上にはないことです。
別の視点から説明すると、
▷２つのベクトル（２次元平面上のベクトルであっても空間ベクトルであっても良い）が１次独立であるとは、
その２つの（０べクトルではない）ベクトルで（直線につぶれていない）２次元（平面）の斜交座標系を作れるということです。
▷３つのベクトルが１次独立であるとは、
その３つの（０べクトルではない）ベクトルで（平面につぶれていない）３次元（３次元空間）の斜交座標系を作れるということです。
すなわち、
①１次独立な２つのベクトルが平面を構成し、 その２つのベクトルの合成により、その平面上のあらゆるベクトルがあらわせる。
しかも、平面上のあるベクトルを２つの１次独立なベクトルの合成であらわすとき、各ベクトルの合成係数が１つに定まる（式の一意性）。
②１次独立な３つのベクトルが３次元空間を構成し、 その３つのベクトルの合成により、その３次元空間上のあらゆるベクトルがあらわせる。
しかも、３次元空間上のあるベクトルを３つの１次独立なベクトルの合成であらわすとき、各ベクトルの合成係数が１つに定まる（式の一意性）。
例えば、以下のように考える。
２次元ベクトル、又は３次元ベクトル、又は４次元ベクトルで、３つのベクトルが１次独立であるとは、
３つのベクトルが同一平面上にはないことです。
３つの空間ベクトルが同一平面上にあることの確認方法や、同一平面上にはないことの確認方法は、ここをクリックした先のページで説明する。
ここで、２次元ベクトルは、ある平面上のベクトルなので、
２次元ベクトルの３つのベクトルは、同一平面上にある。
すなわち、２次元ベクトルの３つのベクトルは、その３つのベクトルが一次独立になる条件（その３つのベクトルが３次元空間を構成する）を満足しない。
そのため、
２次元ベクトルの３つのベクトルは１次独立にはならない。
２次元ベクトルでの３つのベクトルは、必ず１次従属になる。
１次独立な２つのベクトルａとベクトルｂがある場合を考える。その２つのベクトルを合成することで、その２つのベクトルを含む２次元平面上の全てのベクトルがあらわされる。
その２次元平面に垂直な（ベクトルａに垂直で、かつ、ベクトルｂに垂直な）ベクトルｃを考える。（２次元平面に垂直なベクトルｃの求め方は、ここをクリックした先にある）
ベクトルｃは、先の２次元平面上のベクトルでは無いので、ベクトルｃは、ベクトルａとベクトルｂの合成では作ることができない。また、ベクトルｃとベクトルｂを合成したベクトルにはベクトルａに垂直な成分が含まれるので、ベクトルａは、ベクトルｃとベクトルｂの合成では作ることができない。同様に、ベクトルｂは、ベクトルｃとベクトルａの合成では作ることができない。つまり、ベクトルｃとベクトルｂとベクトルａとの３つのベクトルは、３つの独立したベクトルになる。
その３つのベクトルは１次独立なベクトルである。その３つのベクトルは同一平面上には無い。そして、その３つのベクトルを合成することで、３次元空間の全てのベクトルを表すことができる。
一次独立な２個のベクトルは、平面に含まれる全てのベクトルをあらわす２次元平面の斜交座標系を構成する。一次独立な３個のベクトルは、３次元空間に含まれる全てのベクトルをあらわす３次元空間の斜交座標系を構成する。一次独立なｎ個のベクトルがｎ次元空間の斜交座標系を構成する場合に、そのｎ次元空間の全てのベクトルに垂直なベクトルｃをｎ＋１個目のベクトルにしたｎ＋１個のベクトルは、ｎ＋１個の独立したベクトルになる。すなわち、一次独立なベクトルになる。そのｎ＋１個のベクトルは、ｎ＋１次元空間に含まれる全てのベクトルを表すｎ＋１次元空間の斜交座標系を構成する。
ｎ次元空間の斜交座標系の原点である０ベクトルをｎ個の一次独立なベクトルの合成で表す場合には、各ベクトルの合成成分が全て０の場合にのみ、０ベクトルがあらわせる（式の一意性）。
大学数学では、ｎ次元のベクトルをあらわすｎ次元の斜交座標系（つぶれていない）の原点（０ベクトル）をベクトルの合成であらわす式が、ｎ個のベクトルの合成成分を全て０にした式のみであること（一意性）を使って、ｎ個のベクトルの一次独立を定義している。
ｎ個の（０ベクトルでない）ベクトルの作る斜交座標系がつぶれていてｎ個のベクトルが（ｎ－１）次元の空間に含まれる場合は、０ベクトルをｎ個のベクトルの合成であらわすとき、各ベクトルの合成成分が０で無い式でも０ベクトルがあらわせる。また、０ベクトルは、ｎ個のベクトルの全ての合成成分が０の式でもあらわせる。そのように０ベクトルを複数の式であらわせるので、０ベクトルをｎ個のベクトルであらわす式の一意性が失われる。
ｎ個のベクトルが張る斜交座標系の原点（０ベクトル）をｎ個のベクトルの合成であらわす式が、ｎ個のベクトルの合成成分が全て０の式のみである（式の一意性がある）ならば、ｎ次元の斜交座標系はつぶれていない。そのとき、そのｎ個のべクトルが一次独立である、と定義している。
リンク：
ベクトルの1次独立と分解
1次独立(空間ベクトル)
（大学数学）ベクトルの一次独立，一次従属の定義と意味
高校数学の目次
２つの独立したベクトルのことを、「２つの一次独立なベクトル」と呼びます。
２つのベクトルのうちのある１つのベクトルが、他の１つのベクトルの実数倍であらわせる場合は、その２つのベクトルが１次従属である、と呼びます。
２つの独立したベクトルという意味は、そういうことはない、という意味です。
３つの独立したベクトルのことを、「３つの一次独立なベクトル」と呼びます。
３つのベクトルのうちのある１つのベクトルが、他の２つのベクトルの合成であらわせる場合は、その３つのベクトルが１次従属である、と呼びます。
３つの独立したベクトルという意味は、そういうことはない、という意味です。
〔２次元ベクトルの２つのベクトルが１次独立であるとは〕
２つのベクトルが０ベクトルではなく、かつ、同一直線上にはないことです。
〔３次元ベクトルの３つのベクトルが１次独立であるとは〕
３つのベクトルが０ベクトルではなく、かつ、同一平面上にはないことです。
別の視点から説明すると、
▷２つのベクトル（２次元平面上のベクトルであっても空間ベクトルであっても良い）が１次独立であるとは、
その２つの（０べクトルではない）ベクトルで（直線につぶれていない）２次元（平面）の斜交座標系を作れるということです。
▷３つのベクトルが１次独立であるとは、
その３つの（０べクトルではない）ベクトルで（平面につぶれていない）３次元（３次元空間）の斜交座標系を作れるということです。
すなわち、
①１次独立な２つのベクトルが平面を構成し、 その２つのベクトルの合成により、その平面上のあらゆるベクトルがあらわせる。
しかも、平面上のあるベクトルを２つの１次独立なベクトルの合成であらわすとき、各ベクトルの合成係数が１つに定まる（式の一意性）。
②１次独立な３つのベクトルが３次元空間を構成し、 その３つのベクトルの合成により、その３次元空間上のあらゆるベクトルがあらわせる。
しかも、３次元空間上のあるベクトルを３つの１次独立なベクトルの合成であらわすとき、各ベクトルの合成係数が１つに定まる（式の一意性）。
例えば、以下のように考える。
２次元ベクトル、又は３次元ベクトル、又は４次元ベクトルで、３つのベクトルが１次独立であるとは、
３つのベクトルが同一平面上にはないことです。
３つの空間ベクトルが同一平面上にあることの確認方法や、同一平面上にはないことの確認方法は、ここをクリックした先のページで説明する。
ここで、２次元ベクトルは、ある平面上のベクトルなので、
２次元ベクトルの３つのベクトルは、同一平面上にある。
すなわち、２次元ベクトルの３つのベクトルは、その３つのベクトルが一次独立になる条件（その３つのベクトルが３次元空間を構成する）を満足しない。
そのため、
２次元ベクトルの３つのベクトルは１次独立にはならない。
２次元ベクトルでの３つのベクトルは、必ず１次従属になる。
１次独立な２つのベクトルａとベクトルｂがある場合を考える。その２つのベクトルを合成することで、その２つのベクトルを含む２次元平面上の全てのベクトルがあらわされる。
その２次元平面に垂直な（ベクトルａに垂直で、かつ、ベクトルｂに垂直な）ベクトルｃを考える。（２次元平面に垂直なベクトルｃの求め方は、ここをクリックした先にある）
ベクトルｃは、先の２次元平面上のベクトルでは無いので、ベクトルｃは、ベクトルａとベクトルｂの合成では作ることができない。また、ベクトルｃとベクトルｂを合成したベクトルにはベクトルａに垂直な成分が含まれるので、ベクトルａは、ベクトルｃとベクトルｂの合成では作ることができない。同様に、ベクトルｂは、ベクトルｃとベクトルａの合成では作ることができない。つまり、ベクトルｃとベクトルｂとベクトルａとの３つのベクトルは、３つの独立したベクトルになる。
その３つのベクトルは１次独立なベクトルである。その３つのベクトルは同一平面上には無い。そして、その３つのベクトルを合成することで、３次元空間の全てのベクトルを表すことができる。
一次独立な２個のベクトルは、平面に含まれる全てのベクトルをあらわす２次元平面の斜交座標系を構成する。一次独立な３個のベクトルは、３次元空間に含まれる全てのベクトルをあらわす３次元空間の斜交座標系を構成する。一次独立なｎ個のベクトルがｎ次元空間の斜交座標系を構成する場合に、そのｎ次元空間の全てのベクトルに垂直なベクトルｃをｎ＋１個目のベクトルにしたｎ＋１個のベクトルは、ｎ＋１個の独立したベクトルになる。すなわち、一次独立なベクトルになる。そのｎ＋１個のベクトルは、ｎ＋１次元空間に含まれる全てのベクトルを表すｎ＋１次元空間の斜交座標系を構成する。
ｎ次元空間の斜交座標系の原点である０ベクトルをｎ個の一次独立なベクトルの合成で表す場合には、各ベクトルの合成成分が全て０の場合にのみ、０ベクトルがあらわせる（式の一意性）。
大学数学では、ｎ次元のベクトルをあらわすｎ次元の斜交座標系（つぶれていない）の原点（０ベクトル）をベクトルの合成であらわす式が、ｎ個のベクトルの合成成分を全て０にした式のみであること（一意性）を使って、ｎ個のベクトルの一次独立を定義している。
ｎ個の（０ベクトルでない）ベクトルの作る斜交座標系がつぶれていてｎ個のベクトルが（ｎ－１）次元の空間に含まれる場合は、０ベクトルをｎ個のベクトルの合成であらわすとき、各ベクトルの合成成分が０で無い式でも０ベクトルがあらわせる。また、０ベクトルは、ｎ個のベクトルの全ての合成成分が０の式でもあらわせる。そのように０ベクトルを複数の式であらわせるので、０ベクトルをｎ個のベクトルであらわす式の一意性が失われる。
ｎ個のベクトルが張る斜交座標系の原点（０ベクトル）をｎ個のベクトルの合成であらわす式が、ｎ個のベクトルの合成成分が全て０の式のみである（式の一意性がある）ならば、ｎ次元の斜交座標系はつぶれていない。そのとき、そのｎ個のべクトルが一次独立である、と定義している。
リンク：
ベクトルの1次独立と分解
1次独立(空間ベクトル)
（大学数学）ベクトルの一次独立，一次従属の定義と意味
高校数学の目次
連続関数とは何か
やさしい微分積分
〔前のページ〕〔次のページ〕不連続点と連続でない点
〔微分積分の目次〕
《連続関数》
微分積分の命綱を握っているのが連続関数の概念です。
【１つながりに連続する関数】
微分積分で扱う関数は、均質な基本的な要素の関数を単位にして考える。具体的には、１つながりに連続する関数を単位にして考える。その１つながりに連続する関数が、正しく定義された連続関数である。 連続関数は、グラフが途切れることなくつながっている関数です。
【区間とは】
関数のグラフが途切れる、すなわグラフがちちぎれる場合は、下図のように、関数 f(x) のy=f(x) のグラフのｙ軸の方向にすき間を空けてちぎれる場合と、
下図のように、変数ｘのｘ軸の方向にすき間を空けてちぎれる場合と
の２通りのちぎれ方がある。
区間とは、ｘ軸上で実数がすき間なくつまったｘ軸上での１つの連結領域のことを区間と呼ぶ。
上図の２通りのちぎれ方をともに判定できるようにするために、ｘ軸の数直線上の実数がすき間なくつまった区間内の点毎に、ちぎれているか、連続であるかを把握する。
区間内の点とはｘ軸の数直線上の点である。
《実数の連続性》
実数には連続性がある。有理数には連続性が無い。
実数の連続性とは、連続性の公理を満足することである。連続性の公理とは、
「実数の部分集合のうち、上に有界かつ空でないものは、必ず最小上界（上限）を持つ（連続性の公理）」
というものである。
この連続性の公理を満足する数の集合（実数）では、例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が実数の中にある。
しかし、連続性の公理を満足しない数の集合（有理数）の場合では、限りなく近づける先の数がその数の集合（有理数）の中に無い。その場合には、「限りなく近づける」先は、有理数以外の実数であると定義されている。実数の集合で考えるならば、限りなく近づける先の数も実数の集合の中にある。
この実数の連続性公理が微分積分の概念の出発点になっている。
連続関数の定義は、1817年にBolzanoが中間値の定理を証明する前提条件に定義した連続関数の定義により、歴史上初めて連続関数が正しく定義された（その定義は関数の連続性を区間で定義するものである）。
日本の大学数学では、1817年にBolzanoが定義した連続関数を、「区間で連続な関数」と呼んでいる。
関数の連続性に係る定理には、必ず「区間で連続な関数」という言葉が使われる。
関数f(x)の連続性は、x軸でのxの点毎に、各点の近傍に微小区間を定めてその微小区間で関数の連続性を判定する。
更に、ｘ軸での所定の幅の広がりがある区間において、その区間内の全ての実数のｘの点で関数f(x)が連続である場合に、その区間で定義された関数f(x)が連続関数であるという。
下図の３つの区間で定義された３つの関数F1(x), F2(x), F3(x)が３つの連続関数です。
１つながりのグラフが１つの連続関数です。
【区間の定義】
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がない１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。「隙間が無い」大前提のために、連続性の公理を満足する実数の集合でなければならない。
a, b を実数とする. a≦ｘ≦ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区間と呼ぶ.
a＜ｘ＜ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
変数ｘの「区間」の大切な特徴は、「区間」は、所定の１かたまりのｘの範囲内での隙間が無い全ての実数の集合が「区間」である。
【連続でない点】
ｙ＝ｆ（ｘ） ≡ １／ｘは、ｘ＝０でグラフが途切れた関数です。
関数の連続性は、ｘ軸上の点毎に判定する。ｘ軸上のｘ＝０という点が存在します。その点で f(x) の値が無いので、ｘ＝０の点では関数 f(x) は連続ではない。ｘ＝０の点は、関数 f(x) が「連続でない点」と呼ぶ。
連続関数とは、関数の定義域が実数の区間で連結していて、
その連結区間の点毎に関数の値域が連結することで、関数のグラフが１つながりに連結している関数の事である。
《連続関数の定義域の指定》
連続関数は、関数の定義域が連結するために、所定の区間とセットにして定義されます。
上図の y=f(x) であらわされたグラフは、X＝０とＸ＝２で不連続ですが、
０≦ｘ≦２の閉区間 [0,2] で定義された関数 f(x) は連続関数です。
高校数学で学ぶ初等関数はすべて、区間の端点以外には関数が連続でない点が存在しない区間を選び、その区間とセットにして区間で連続な関数が作れます。
例えば、
は、２つの区間（－∞，２）、（２，∞）で連続である。すなわち、２つの「区間で連続な関数」が作れます。
その個別の「区間で連続な関数」を単位にして微分積分を考えます。
このサイトでは、以降では、1817年にBolzanoが正しく定義した連続関数を、誤って定義された連続関数と区別するために、「区間で連続な関数」と呼ぶ。
（補足１）
高校数学の数Ⅲの教科書「数学Ⅲ Advanced」(東京書籍)では、1817年にBolzanoが正しく定義した連続関数を、以下のように正しく定義している。
「関数ｆ(x) がある区間Ｉに属するすべての値ｘで連続であるとき、ｆ(x) は区間Ｉで連続である。」
（補足２）
大学数学で登場する現代数学の位相空間論で定義される（点ａで）位相空間論的連続性を持つ連続関数ｆ(x) では、実数の区間に限定されない（例えば有理数を定義域とする）関数ｆ(x) の（点ａでの）位相空間論的連続性が定義される。しかし、その位相空間論的連続関数ｆ(x) は、積分可能ではない。また、その関数ｆ(x) は千切れている。そういう現代数学の位相空間論的連続関数を学ぶ以前に、微分積分の基礎知識として、古典的微分積分学の連続関数（区間で連続な関数）の概念をしっかり学んでおく必要がある。
区間で連続な関数の性質を、位相空間論では、「位相空間論的連続関数（千切れていても良い）」の性質と、「（定義域が）連結する関数」の性質、という２つの要素に分けて解析している。その位相空間論を理解する以前の基礎知識として、区間で連続な関数（千切れていない関数）の概念を学んでおく必要がある。
大学数学で学ぶ位相空間論の微分積分を学ぶには、
「嶺幸太郎 著「微分積分学の試練」」を学ぶと良い。
最近の大学数学の微分積分の講義は、微分積分を０から学び始めた初心者向けの古典的な（基礎的な）微分積分の概念は教えなくなっているようです。「微分積分の概念の正しい基礎は高校数学で学んで来たハズだから、大学では現代数学の微分積分を教える」という大学の数学の講義の方針があるように思います。しかし、古典的な（基礎的な）微分積分の概念を知らずして現代数学の微分積分は理解できないと思います。そういう状況なので、高校数学を学ぶ中で、古典的な（基礎的な）微分積分の概念を自力でしっかり学ぶしかないようです。
リンク：
関数が連続であるとは
やさしい微分積分
連続関数の定義
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
関数の極限の定義
実数はどう定義される？｜実数の連続性公理から理解する
コンパクトであれば有界な閉区間である
高校数学の目次
〔前のページ〕〔次のページ〕不連続点と連続でない点
〔微分積分の目次〕
《連続関数》
微分積分の命綱を握っているのが連続関数の概念です。
【１つながりに連続する関数】
微分積分で扱う関数は、均質な基本的な要素の関数を単位にして考える。具体的には、１つながりに連続する関数を単位にして考える。その１つながりに連続する関数が、正しく定義された連続関数である。 連続関数は、グラフが途切れることなくつながっている関数です。
【区間とは】
関数のグラフが途切れる、すなわグラフがちちぎれる場合は、下図のように、関数 f(x) のy=f(x) のグラフのｙ軸の方向にすき間を空けてちぎれる場合と、
下図のように、変数ｘのｘ軸の方向にすき間を空けてちぎれる場合と
の２通りのちぎれ方がある。
区間とは、ｘ軸上で実数がすき間なくつまったｘ軸上での１つの連結領域のことを区間と呼ぶ。
上図の２通りのちぎれ方をともに判定できるようにするために、ｘ軸の数直線上の実数がすき間なくつまった区間内の点毎に、ちぎれているか、連続であるかを把握する。
区間内の点とはｘ軸の数直線上の点である。
《実数の連続性》
実数には連続性がある。有理数には連続性が無い。
実数の連続性とは、連続性の公理を満足することである。連続性の公理とは、
「実数の部分集合のうち、上に有界かつ空でないものは、必ず最小上界（上限）を持つ（連続性の公理）」
というものである。
この連続性の公理を満足する数の集合（実数）では、例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が実数の中にある。
しかし、連続性の公理を満足しない数の集合（有理数）の場合では、限りなく近づける先の数がその数の集合（有理数）の中に無い。その場合には、「限りなく近づける」先は、有理数以外の実数であると定義されている。実数の集合で考えるならば、限りなく近づける先の数も実数の集合の中にある。
この実数の連続性公理が微分積分の概念の出発点になっている。
連続関数の定義は、1817年にBolzanoが中間値の定理を証明する前提条件に定義した連続関数の定義により、歴史上初めて連続関数が正しく定義された（その定義は関数の連続性を区間で定義するものである）。
日本の大学数学では、1817年にBolzanoが定義した連続関数を、「区間で連続な関数」と呼んでいる。
関数の連続性に係る定理には、必ず「区間で連続な関数」という言葉が使われる。
関数f(x)の連続性は、x軸でのxの点毎に、各点の近傍に微小区間を定めてその微小区間で関数の連続性を判定する。
更に、ｘ軸での所定の幅の広がりがある区間において、その区間内の全ての実数のｘの点で関数f(x)が連続である場合に、その区間で定義された関数f(x)が連続関数であるという。
下図の３つの区間で定義された３つの関数F1(x), F2(x), F3(x)が３つの連続関数です。
【区間の定義】
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がない１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。「隙間が無い」大前提のために、連続性の公理を満足する実数の集合でなければならない。
a, b を実数とする. a≦ｘ≦ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区間と呼ぶ.
a＜ｘ＜ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
変数ｘの「区間」の大切な特徴は、「区間」は、所定の１かたまりのｘの範囲内での隙間が無い全ての実数の集合が「区間」である。
【連続でない点】
関数の連続性は、ｘ軸上の点毎に判定する。ｘ軸上のｘ＝０という点が存在します。その点で f(x) の値が無いので、ｘ＝０の点では関数 f(x) は連続ではない。ｘ＝０の点は、関数 f(x) が「連続でない点」と呼ぶ。
連続関数とは、関数の定義域が実数の区間で連結していて、
その連結区間の点毎に関数の値域が連結することで、関数のグラフが１つながりに連結している関数の事である。
《連続関数の定義域の指定》
連続関数は、関数の定義域が連結するために、所定の区間とセットにして定義されます。
０≦ｘ≦２の閉区間 [0,2] で定義された関数 f(x) は連続関数です。
高校数学で学ぶ初等関数はすべて、区間の端点以外には関数が連続でない点が存在しない区間を選び、その区間とセットにして区間で連続な関数が作れます。
例えば、
は、２つの区間（－∞，２）、（２，∞）で連続である。すなわち、２つの「区間で連続な関数」が作れます。
その個別の「区間で連続な関数」を単位にして微分積分を考えます。
このサイトでは、以降では、1817年にBolzanoが正しく定義した連続関数を、誤って定義された連続関数と区別するために、「区間で連続な関数」と呼ぶ。
（補足１）
高校数学の数Ⅲの教科書「数学Ⅲ Advanced」(東京書籍)では、1817年にBolzanoが正しく定義した連続関数を、以下のように正しく定義している。
「関数ｆ(x) がある区間Ｉに属するすべての値ｘで連続であるとき、ｆ(x) は区間Ｉで連続である。」
（補足２）
大学数学で登場する現代数学の位相空間論で定義される（点ａで）位相空間論的連続性を持つ連続関数ｆ(x) では、実数の区間に限定されない（例えば有理数を定義域とする）関数ｆ(x) の（点ａでの）位相空間論的連続性が定義される。しかし、その位相空間論的連続関数ｆ(x) は、積分可能ではない。また、その関数ｆ(x) は千切れている。そういう現代数学の位相空間論的連続関数を学ぶ以前に、微分積分の基礎知識として、古典的微分積分学の連続関数（区間で連続な関数）の概念をしっかり学んでおく必要がある。
区間で連続な関数の性質を、位相空間論では、「位相空間論的連続関数（千切れていても良い）」の性質と、「（定義域が）連結する関数」の性質、という２つの要素に分けて解析している。その位相空間論を理解する以前の基礎知識として、区間で連続な関数（千切れていない関数）の概念を学んでおく必要がある。
大学数学で学ぶ位相空間論の微分積分を学ぶには、
「嶺幸太郎 著「微分積分学の試練」」を学ぶと良い。
最近の大学数学の微分積分の講義は、微分積分を０から学び始めた初心者向けの古典的な（基礎的な）微分積分の概念は教えなくなっているようです。「微分積分の概念の正しい基礎は高校数学で学んで来たハズだから、大学では現代数学の微分積分を教える」という大学の数学の講義の方針があるように思います。しかし、古典的な（基礎的な）微分積分の概念を知らずして現代数学の微分積分は理解できないと思います。そういう状況なので、高校数学を学ぶ中で、古典的な（基礎的な）微分積分の概念を自力でしっかり学ぶしかないようです。
リンク：
関数が連続であるとは
やさしい微分積分
連続関数の定義
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
関数の極限の定義
実数はどう定義される？｜実数の連続性公理から理解する
コンパクトであれば有界な閉区間である
高校数学の目次
微分可能の定義
（ページ内リンク先）
▽はじめに
▽ 微分とは何か
▽微分可能の厳密な定義
▽関数の増減表
▽微分可能の定義の拡張＝区間の端での微分可能の定義
▽接線の定義
▽右側微分係数と左側微分係数
▽関数の連続を前提にした、とある定理
▽微分不可能が微分可能に変わる例
▽行なって良い変数変換の条件
▽例題2.4
▽微分の式の前提条件：関数が存在すること
▽リーマン積分可能の定義
▽積分が不可能な関数
（はじめに）「微分・積分」の勉強について
高校２年生から、極限・微分・積分の「意味がわからない」「つまらない」「教わる計算方法が正しいと言える理由（証明）がわからない」で数学の学習から脱落する高校２年生が多いらしい。
その脱落の原因は、高校２年の極限・微分・積分の授業では、数学のうたい文句から外れた教育がされるからではないかと考えます。
すなわち、今までは、
「数学は、公式を正しく証明した後にその公式を使う」
と言って来たが、
高校２年生の、極限・微分・積分の授業からは、
「数学は、計算結果さえ合えば良い、途中の経緯は問わない、公式の証明は間違っていても問題視しない」
という教育思想が入り込み、
その思想の行き過ぎを避けるため、
「便利すぎる公式は、それをつかって直ぐ答えが得られてしまうから教えない」
という思想が混ざり、
数学教育に大きな濁りが入り込むので「微分積分がつまらない」となる原因があるのではないかと考えます。
その濁りに押し流され無いため、高校２年生も 公式を厳密に証明して納得してから使う、数学の心に従って極限・微分・積分の学習をして欲しいと考えます。
また、微分積分の正しい情報を与えてくれる、高校２年生が勉強しても、内容がわかり易くて良い微分積分の参考書の「やさしく学べる微分積分」（石村園子） \2000円 等の正しい情報を与えてくれる参考書を入手して、正しい情報を学習するのが良いと思います。
（微分とは何か）
先ず、微分とは何かを、微分可能のハッキリした定義を知ることで頭を整理しましょう。
微分可能の定義は：
（１）第１の定義（区間の内点で）の微分可能：
関数ｆ(x) が定義される区間の内点（区間の境界点以外の点）ｘで関数ｆ(x) の右側微分係数と左側微分係数が一致する場合に微分可能であるとし、微分係数が存在するとする定義。
（２）第２の定義（区間の端点で）の微分可能：
閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）の関数ｆ（ｘ）の、ｘ＝ａとｘ＝ｂとの区間の端点では、片側微分係数があるだけで、微分係数が存在し微分可能であるとする定義。
との２通りの定義があるので要注意です。
（微分積分学の基本定理との関係）
微分積分学の基本定理の根底を支えているのが微分可能の定義です。高校数学では、関数の定義域の区間の内点での微分可能性だけが詳しく教えられている。高校数学は、内点での微分可能の条件があたかも全ての微分可能の条件であるように教えていて、閉区間の端点では条件が満足されないので微分不可能であるように教えている。しかし、閉区間の端点でも（傾きが無限大でなければ）微分可能である。
一方、大学数学では、閉区間（a≦x≦b）で定義された関数f(x)の閉区間の端点x=a,bでの微分可能性の定義も明らかにされる。そのため、大学数学では、閉区間（a≦x≦b）で定義された関数f(x)でも、微分積分学の基本定理が成り立つことが把握できる。
《実数とは》
微分積分の命綱を握っているのが実数の概念です。以下の例を用いて実数について考える。
下の図のようにｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
以下の図で、「数の集合Ａの要素で、点ａ以外の値の、変数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
すなわち、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、変数ｘが限りなく近づく先の点ａは、すなわち、変数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の点ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａを考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
点ａの値以外の数の集合Ａの要素の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは実数ではあるが、数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）数の集合Ａの要素のある数の点ｙが集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
--（集積点の定義おわり）---
《関数の極限》
関数ｆ(x) の定義域のｘの数の集合Ａから、ａと異なる数ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・ を選んで、点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作った場合に、その無限数列{ｘn}が点ａに収束するのにともなってｆ(x) が値Ｃに収束することが、ｘ→ａで関数ｆ(x)に極限値Ｃが存在するための基礎条件である。
関数ｆ(x) において、変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくならば、
ｘ→ａのときｆ(x) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
また、この場合、”ｘ→ａのときｆ(x) はＣに収束する”という。
【関数の極限の定義】
変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、関数ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくという関数の極限は、以下のように定義する。
関数ｆ(x) の定義域の集合Ａを区間とする。そして、「変数ｘが限りなくａに近づくとき関数ｆ(x) に極限値Ｃが存在する」ことの数学的定義を：
「区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束する全ての無限数列{ｘn}で共通して、関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束する」ことと定義する。
そう定義する理由は、関数ｆ(x) によっては、点ａに収束する各無限数列{ｘn}毎に、関数ｆ(x) が異なる値Ｃに収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
【関数の極限の定義の論理的帰結】
（区間Ａの内点での極限）関数ｆ(x) が定義される区間Ａの内点ａでの極限は、右側極限と左側極限との両側で極限値が存在して、両側の極限値が一致することが内点で極限が存在する条件である。（区間Ａの内点とは、区間Ａの端点以外の、区間内の点のことである）。
ｘが、内点ａの値よりも大きい値をとりながら限りなくａに近づくときｆ(x) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｆ(x) の右側極限値といい、次のようにあらわす。
ｘが、内点ａの値よりも小さい値をとりながら限りなくａに近づくときｆ(x) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｆ(x) の左側極限値といい、次のようにあらわす。
〔極限が存在する条件〕区間Ａの内点ａでは、極限が存在する条件は、区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束するどの無限数列{ｘn}であっても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束することである。そのため、区間Ａ内の点ｘの、点ａより大きい数の無限数列{ｘn}による右側極限でも値Ｃに収束する。また、区間Ａ内の点ｘの、点ａより小さい数の無限数列{ｘn}による左側極限でも同じ値Ｃに収束する。すなわち、右側極限も存在し、左側極限も存在して、両者の極限値が一致することが内点で極限が存在するために必要十分な条件である。
（区間Ａの端点での極限） 関数ｆ(x) が定義される区間Ａの端点ａでの極限は、区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束するどの無限数列{ｘn}であっても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束することである。
▷区間Ａの左側の端点ａでは、無限数列{ｘn}は、区間Ａ内の点ｘの、点ａより大きい数の無限数列{ｘn}による右側極限しか無いので、右側極限値が存在するだけで、端点ａで極限値が存在する条件になる。
▷区間Ａの右側の端点ａでは、無限数列{ｘn}は、区間Ａ内の点ｘの、点ａより小さい数の無限数列{ｘn}による左側極限しか無いので、左側極限値が存在するだけで、端点ａで極限値が存在する条件になる。
《関数の連続性》
「連続関数とは何か」
https://schoolhmath.blogspot.com/2024/11/blog-post_93.html
のページが参考になる。
関数の連続性の定義についても、極限の定義と同じで、
関数が定義される区間の内点ａでの連続性は、点ａの両側極限が一致した上で、かつf(a) と等しくなることが、点ａで関数が連続である条件です。
関数が定義される区間の端点ａでの連続性は、点ａの片側極限が存在した上で、かつf(a) と等しくなることが、点ａで関数が連続である条件です。
《関数の微分可能性》
「微分とは何か」
https://schoolhmath.blogspot.com/2024/11/blog-post_6.html
のページが参考になる。
関数の微分可能性の定義についても、極限の定義と同じで、
関数が定義される区間の内点ａでの微分可能性は、点ａで関数が連続であって、点ａの両側での微分係数が一致することが、点ａで関数が微分可能である条件です。
関数が定義される区間の端点ａでの微分可能性は、点ａで関数が連続であって、点ａの片側での微分係数が存在することが、点ａで関数が微分可能である条件です。
ーー【区間の定義】ーー
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がない１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。
《神奈川大学》【定義 14.2.4.】
a, b を実数とする. a 以上かつ b 以下の実数をすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区 間と呼ぶ.
a より大きくかつ b 未満の実数をすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
----定義おわり----
ａ≦ｘ≦ｂを満足するｘの区間という表現は、ａ≦ｘ≦ｂの範囲内の全ての実数ｘという意味です。
－∞＜ｘ＜∞という区間もあります。
区間はｘの値の範囲を限定するためのａ≦ｘ≦ｂという式とは意味が異なることに注意する必要があります。
（Ａ）「０≦ｘ≦２の区間の変数ｘで定義された関数f(x)がその区間の各点で連続であるとき，f(x)は連続関数である」という文では、
ｆ（ｘ）は、０≦ｘ≦２の区間で１つながりに連続した関数ｆ（ｘ）として定義されます。連続関数は、平均値の定理を満足する関数です。。
（Ｂ）高校数学での、誤った連続関数の定義
「変数ｘの０≦ｘ≦２の範囲内の値で関数f(x)が定義されていて、その関数ｆ（ｘ）が定義域の各点で連続であるとき，f(x)は連続関数である」という高校数学の連続関数の定義では、ｆ（ｘ）は、例えば、
０＜ｘ＜１で f(x)=0, この定義域内の各点で連続。
１＜ｘ＜２で f(x)=1, この定義域内の各点で連続。
結局、０≦ｘ≦２の範囲内の全ての定義域の各点で連続という関数も連続関数ｆ（ｘ）にされます。しかし、そのように、すき間をはさんだ２つの区間を合わせた複合区間を定義域とする関数は平均値の定理を満足しない。それは連続関数ではなく、その定義は正しい連続関数の定義ではない。
この例の様に、「区間」という用語は変数ｘの数直線上の、すき間がない１かたまりの実数の集合をあらわす。変数ｘの数直線上の「区間」では、その変数ｘの範囲内に実数のすき間があってはいけない。
「区間」という用語は、特に重要な関数である連続関数の連続性を定義するために必要な、連続関数f(x)の変数xの集合体がいつも持っていなければならない連続性という重要な性質が「区間」という概念を用いてあらわされている。
すなわち、変数ｘの「区間」の性質で大切なのは、
「区間」のなかに変数ｘの値が隙間なく存在すること。
つまり所定範囲内での隙間が無い１かたまりの実数の集合という概念が「区間」という用語で定義されている。
区間について考えるという事は、その区間内の全ての実数の座標ｘの点を考えるという事を意味する。すなわち、区間で定義された関数の微分可能性は、変数ｘの数直線上の実数が隙間なくつまっている区間を基にして定義される概念である。
----------区間の定義終わり-------------
－－（連続関数の定義の誤りに注意）－－－
また、高校で教えている連続関数の定義が間違っていて、それも微分可能の意味を理解できなくする原因になっているので要注意です。
小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」で定義されている連続関数の定義のように、大学では、定義域として、実数を完全に含んで連結している１つながりの「区間」の全ての実数のｘで定義されている関数ｆ（ｘ）に限って連続関数を定義しています。
「区間Ａで定義された関数f(x)がその定義域Ａの各点で連続であるとき，f(x)は連続関数であるという」
という表現が正しい連続関数の定義です。
ここで、「区間」という言葉が使われた時点で、それは１つながりの連結区間であって、それは、連続で無い点で分断された領域のことでは無い事に十分に注意する必要があります。
ーー注意のおわり－－－
関数ｆ（ｘ）であらわされるグラフの傾きは、以下のようにあらわされます。
この傾きは以下に説明する微分によって求めます。
---（定義2.1 「微分積分学入門」（横田 壽）６０ページ---
（区間の内点と端点での関数の微分可能の定義）
関数f(x) の変数ｘの定義域Ａが、点x0 を含むある区間Ａ（開区間でも閉区間でも良く、x0は閉区間の端点であっても良い）で定義されているとき，（その区間Ａの点x=x0+hでの関数の値f(x0+h) に係わる以下の式の）極限値
（有限の傾きＣ）が存在するならば，
関数f(x) は， x = x0 で微分可能(differentiable) であるという．
また，この極限値Ｃを点x0 における微分係数といい，
で表わす．
-----（定義おわり）---------------------------
-----（定義の言い換え）---------------
微分可能の定義を理解するために、以下の様に、自分の言葉で定義を言い換えするのが良いと考えます。
（１）
X0がある区間Ａの内点（区間Ａの境界点以外の点）の場合は、
ｘ0に近い（例えばｘ0から微小な値 δ 以内の誤差の）区間Ａ内の全ての実数の値の変数ｘ（ただしｘ0を除外する）を考える。
（注意１）
微分可能の定義には、ｘ0 と、それ以外の値のｘとを考えるという条件が必ず入るので（曲線の傾きを求めるには、必ず異なる２点を使う必要がある）、 x0の近傍の区間Ａの全ての実数の点を調べる極限の定義と相性が良いので、極限を使って微分可能を定義している。
また、関数f(x) の定義される区間Ａの内点x=x0でのf(x)の微分可能の定義は、点x=x0だけで定義されるのでは無く、x0の点とその近傍の区間Ａの点の集合全体を使って、x0の点でのf(x)の微分可能性を定義している。
高校数学で主に教えられている区間Ａの内点x0の微分可能性では、内点x0の左右の近傍に区間Ａの点の集合が存在する。その左右の片側微分係数が一致することで内点x0 の微分可能性を調べている。
▽はじめに
▽ 微分とは何か
▽微分可能の厳密な定義
▽関数の増減表
▽微分可能の定義の拡張＝区間の端での微分可能の定義
▽接線の定義
▽右側微分係数と左側微分係数
▽関数の連続を前提にした、とある定理
▽微分不可能が微分可能に変わる例
▽行なって良い変数変換の条件
▽例題2.4
▽微分の式の前提条件：関数が存在すること
▽リーマン積分可能の定義
▽積分が不可能な関数
（はじめに）「微分・積分」の勉強について
高校２年生から、極限・微分・積分の「意味がわからない」「つまらない」「教わる計算方法が正しいと言える理由（証明）がわからない」で数学の学習から脱落する高校２年生が多いらしい。
その脱落の原因は、高校２年の極限・微分・積分の授業では、数学のうたい文句から外れた教育がされるからではないかと考えます。
すなわち、今までは、
「数学は、公式を正しく証明した後にその公式を使う」
と言って来たが、
高校２年生の、極限・微分・積分の授業からは、
「数学は、計算結果さえ合えば良い、途中の経緯は問わない、公式の証明は間違っていても問題視しない」
という教育思想が入り込み、
その思想の行き過ぎを避けるため、
「便利すぎる公式は、それをつかって直ぐ答えが得られてしまうから教えない」
という思想が混ざり、
数学教育に大きな濁りが入り込むので「微分積分がつまらない」となる原因があるのではないかと考えます。
その濁りに押し流され無いため、高校２年生も 公式を厳密に証明して納得してから使う、数学の心に従って極限・微分・積分の学習をして欲しいと考えます。
また、微分積分の正しい情報を与えてくれる、高校２年生が勉強しても、内容がわかり易くて良い微分積分の参考書の「やさしく学べる微分積分」（石村園子） \2000円 等の正しい情報を与えてくれる参考書を入手して、正しい情報を学習するのが良いと思います。
（微分とは何か）
先ず、微分とは何かを、微分可能のハッキリした定義を知ることで頭を整理しましょう。
微分可能の定義は：
（１）第１の定義（区間の内点で）の微分可能：
関数ｆ(x) が定義される区間の内点（区間の境界点以外の点）ｘで関数ｆ(x) の右側微分係数と左側微分係数が一致する場合に微分可能であるとし、微分係数が存在するとする定義。
（２）第２の定義（区間の端点で）の微分可能：
閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）の関数ｆ（ｘ）の、ｘ＝ａとｘ＝ｂとの区間の端点では、片側微分係数があるだけで、微分係数が存在し微分可能であるとする定義。
との２通りの定義があるので要注意です。
（微分積分学の基本定理との関係）
微分積分学の基本定理の根底を支えているのが微分可能の定義です。高校数学では、関数の定義域の区間の内点での微分可能性だけが詳しく教えられている。高校数学は、内点での微分可能の条件があたかも全ての微分可能の条件であるように教えていて、閉区間の端点では条件が満足されないので微分不可能であるように教えている。しかし、閉区間の端点でも（傾きが無限大でなければ）微分可能である。
一方、大学数学では、閉区間（a≦x≦b）で定義された関数f(x)の閉区間の端点x=a,bでの微分可能性の定義も明らかにされる。そのため、大学数学では、閉区間（a≦x≦b）で定義された関数f(x)でも、微分積分学の基本定理が成り立つことが把握できる。
《実数とは》
微分積分の命綱を握っているのが実数の概念です。以下の例を用いて実数について考える。
下の図のようにｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
以下の図で、「数の集合Ａの要素で、点ａ以外の値の、変数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
すなわち、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、変数ｘが限りなく近づく先の点ａは、すなわち、変数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の点ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａを考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
点ａの値以外の数の集合Ａの要素の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは実数ではあるが、数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）数の集合Ａの要素のある数の点ｙが集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
--（集積点の定義おわり）---
《関数の極限》
関数ｆ(x) の定義域のｘの数の集合Ａから、ａと異なる数ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・ を選んで、点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作った場合に、その無限数列{ｘn}が点ａに収束するのにともなってｆ(x) が値Ｃに収束することが、ｘ→ａで関数ｆ(x)に極限値Ｃが存在するための基礎条件である。
関数ｆ(x) において、変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくならば、
ｘ→ａのときｆ(x) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
また、この場合、”ｘ→ａのときｆ(x) はＣに収束する”という。
【関数の極限の定義】
変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、関数ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくという関数の極限は、以下のように定義する。
関数ｆ(x) の定義域の集合Ａを区間とする。そして、「変数ｘが限りなくａに近づくとき関数ｆ(x) に極限値Ｃが存在する」ことの数学的定義を：
「区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束する全ての無限数列{ｘn}で共通して、関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束する」ことと定義する。
そう定義する理由は、関数ｆ(x) によっては、点ａに収束する各無限数列{ｘn}毎に、関数ｆ(x) が異なる値Ｃに収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
【関数の極限の定義の論理的帰結】
（区間Ａの内点での極限）関数ｆ(x) が定義される区間Ａの内点ａでの極限は、右側極限と左側極限との両側で極限値が存在して、両側の極限値が一致することが内点で極限が存在する条件である。（区間Ａの内点とは、区間Ａの端点以外の、区間内の点のことである）。
ｘが、内点ａの値よりも大きい値をとりながら限りなくａに近づくときｆ(x) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｆ(x) の右側極限値といい、次のようにあらわす。
ｘが、内点ａの値よりも小さい値をとりながら限りなくａに近づくときｆ(x) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｆ(x) の左側極限値といい、次のようにあらわす。
〔極限が存在する条件〕区間Ａの内点ａでは、極限が存在する条件は、区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束するどの無限数列{ｘn}であっても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束することである。そのため、区間Ａ内の点ｘの、点ａより大きい数の無限数列{ｘn}による右側極限でも値Ｃに収束する。また、区間Ａ内の点ｘの、点ａより小さい数の無限数列{ｘn}による左側極限でも同じ値Ｃに収束する。すなわち、右側極限も存在し、左側極限も存在して、両者の極限値が一致することが内点で極限が存在するために必要十分な条件である。
（区間Ａの端点での極限） 関数ｆ(x) が定義される区間Ａの端点ａでの極限は、区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束するどの無限数列{ｘn}であっても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束することである。
▷区間Ａの左側の端点ａでは、無限数列{ｘn}は、区間Ａ内の点ｘの、点ａより大きい数の無限数列{ｘn}による右側極限しか無いので、右側極限値が存在するだけで、端点ａで極限値が存在する条件になる。
▷区間Ａの右側の端点ａでは、無限数列{ｘn}は、区間Ａ内の点ｘの、点ａより小さい数の無限数列{ｘn}による左側極限しか無いので、左側極限値が存在するだけで、端点ａで極限値が存在する条件になる。
《関数の連続性》
「連続関数とは何か」
https://schoolhmath.blogspot.com/2024/11/blog-post_93.html
のページが参考になる。
関数の連続性の定義についても、極限の定義と同じで、
関数が定義される区間の内点ａでの連続性は、点ａの両側極限が一致した上で、かつf(a) と等しくなることが、点ａで関数が連続である条件です。
関数が定義される区間の端点ａでの連続性は、点ａの片側極限が存在した上で、かつf(a) と等しくなることが、点ａで関数が連続である条件です。
《関数の微分可能性》
「微分とは何か」
https://schoolhmath.blogspot.com/2024/11/blog-post_6.html
のページが参考になる。
関数の微分可能性の定義についても、極限の定義と同じで、
関数が定義される区間の内点ａでの微分可能性は、点ａで関数が連続であって、点ａの両側での微分係数が一致することが、点ａで関数が微分可能である条件です。
関数が定義される区間の端点ａでの微分可能性は、点ａで関数が連続であって、点ａの片側での微分係数が存在することが、点ａで関数が微分可能である条件です。
ーー【区間の定義】ーー
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がない１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。
《神奈川大学》【定義 14.2.4.】
a, b を実数とする. a 以上かつ b 以下の実数をすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区 間と呼ぶ.
a より大きくかつ b 未満の実数をすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
----定義おわり----
ａ≦ｘ≦ｂを満足するｘの区間という表現は、ａ≦ｘ≦ｂの範囲内の全ての実数ｘという意味です。
－∞＜ｘ＜∞という区間もあります。
区間はｘの値の範囲を限定するためのａ≦ｘ≦ｂという式とは意味が異なることに注意する必要があります。
（Ａ）「０≦ｘ≦２の区間の変数ｘで定義された関数f(x)がその区間の各点で連続であるとき，f(x)は連続関数である」という文では、
ｆ（ｘ）は、０≦ｘ≦２の区間で１つながりに連続した関数ｆ（ｘ）として定義されます。連続関数は、平均値の定理を満足する関数です。。
（Ｂ）高校数学での、誤った連続関数の定義
「変数ｘの０≦ｘ≦２の範囲内の値で関数f(x)が定義されていて、その関数ｆ（ｘ）が定義域の各点で連続であるとき，f(x)は連続関数である」という高校数学の連続関数の定義では、ｆ（ｘ）は、例えば、
０＜ｘ＜１で f(x)=0, この定義域内の各点で連続。
１＜ｘ＜２で f(x)=1, この定義域内の各点で連続。
結局、０≦ｘ≦２の範囲内の全ての定義域の各点で連続という関数も連続関数ｆ（ｘ）にされます。しかし、そのように、すき間をはさんだ２つの区間を合わせた複合区間を定義域とする関数は平均値の定理を満足しない。それは連続関数ではなく、その定義は正しい連続関数の定義ではない。
この例の様に、「区間」という用語は変数ｘの数直線上の、すき間がない１かたまりの実数の集合をあらわす。変数ｘの数直線上の「区間」では、その変数ｘの範囲内に実数のすき間があってはいけない。
「区間」という用語は、特に重要な関数である連続関数の連続性を定義するために必要な、連続関数f(x)の変数xの集合体がいつも持っていなければならない連続性という重要な性質が「区間」という概念を用いてあらわされている。
すなわち、変数ｘの「区間」の性質で大切なのは、
「区間」のなかに変数ｘの値が隙間なく存在すること。
つまり所定範囲内での隙間が無い１かたまりの実数の集合という概念が「区間」という用語で定義されている。
区間について考えるという事は、その区間内の全ての実数の座標ｘの点を考えるという事を意味する。すなわち、区間で定義された関数の微分可能性は、変数ｘの数直線上の実数が隙間なくつまっている区間を基にして定義される概念である。
----------区間の定義終わり-------------
－－（連続関数の定義の誤りに注意）－－－
また、高校で教えている連続関数の定義が間違っていて、それも微分可能の意味を理解できなくする原因になっているので要注意です。
小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」で定義されている連続関数の定義のように、大学では、定義域として、実数を完全に含んで連結している１つながりの「区間」の全ての実数のｘで定義されている関数ｆ（ｘ）に限って連続関数を定義しています。
「区間Ａで定義された関数f(x)がその定義域Ａの各点で連続であるとき，f(x)は連続関数であるという」
という表現が正しい連続関数の定義です。
ここで、「区間」という言葉が使われた時点で、それは１つながりの連結区間であって、それは、連続で無い点で分断された領域のことでは無い事に十分に注意する必要があります。
ーー注意のおわり－－－
関数ｆ（ｘ）であらわされるグラフの傾きは、以下のようにあらわされます。
---（定義2.1 「微分積分学入門」（横田 壽）６０ページ---
（区間の内点と端点での関数の微分可能の定義）
関数f(x) の変数ｘの定義域Ａが、点x0 を含むある区間Ａ（開区間でも閉区間でも良く、x0は閉区間の端点であっても良い）で定義されているとき，（その区間Ａの点x=x0+hでの関数の値f(x0+h) に係わる以下の式の）極限値
（有限の傾きＣ）が存在するならば，
関数f(x) は， x = x0 で微分可能(differentiable) であるという．
また，この極限値Ｃを点x0 における微分係数といい，
-----（定義おわり）---------------------------
-----（定義の言い換え）---------------
微分可能の定義を理解するために、以下の様に、自分の言葉で定義を言い換えするのが良いと考えます。
（１）
X0がある区間Ａの内点（区間Ａの境界点以外の点）の場合は、
ｘ0に近い（例えばｘ0から微小な値 δ 以内の誤差の）区間Ａ内の全ての実数の値の変数ｘ（ただしｘ0を除外する）を考える。
（注意１）
微分可能の定義には、ｘ0 と、それ以外の値のｘとを考えるという条件が必ず入るので（曲線の傾きを求めるには、必ず異なる２点を使う必要がある）、 x0の近傍の区間Ａの全ての実数の点を調べる極限の定義と相性が良いので、極限を使って微分可能を定義している。
また、関数f(x) の定義される区間Ａの内点x=x0でのf(x)の微分可能の定義は、点x=x0だけで定義されるのでは無く、x0の点とその近傍の区間Ａの点の集合全体を使って、x0の点でのf(x)の微分可能性を定義している。
高校数学で主に教えられている区間Ａの内点x0の微分可能性では、内点x0の左右の近傍に区間Ａの点の集合が存在する。その左右の片側微分係数が一致することで内点x0 の微分可能性を調べている。
関数f(x)がa≦x≦bの閉区間Ａで定義されている場合に、その区間Ａの端のx=aとなる端点ａは、区間の内点では無いので、その微分可能性は高校数学では教えられていないが、その端点ａでも、片側微分係数が存在すれば微分可能である。
（２）
ｘ0の近傍の全ての実数のうちのｘ0 以外の実数ｘをどの様に選んでも、点（ｘ，ｆ(ｘ)）と点（ｘ0，ｆ(ｘ0)）を結んだ線分の傾きが、実数ｘのどの様な選び方でも、漏れなく、同じ有限の値に収束する（例えば、その全ての傾きの値が、確固として同じ有限の値 Ｃから微小な値 ε 以内の誤差の値に収まる）ならば、
その確固として同じ有限の値の傾きＣが微分係数である。
（３）
また、そのグラフの点を結んだ線分の傾きが一定の、有限の値の傾きＣに収束しないならば（無限大の傾きもダメ）、微分不可能である。
（４）
高校数学では、ｘ0 が、関数f(ｘ) が定義される区間の内点の場合の微分可能性だけ例示されている。しかし、ｘ0 が関数f(x) が定義される閉区間の端点の場合も、（定義2.1 で示した大学数学で）微分可能性が定義されている。
大学生になると、微分可能の定義2.1 によって、関数F(x)の端点(x=a)の微分係数をF(x)の片側微分係数で定義する。つまり、関数ｆ(x) の変数ｘの定義域が、
ａ≦ｘ≦ｂ
というように定義域が領域の境界点ａ（端点ａ）や境界点ｂ（端点ｂ）を含む場合は、
関数ｆ(x) の端点での微分可能性がチェックできる。
これについては、後で、「微分可能の定義の拡張」で説明する。
---------（言い換え終わり）-----------
（補足１）
「微分可能」という言葉は、高校３年の数Ⅲで習うが、高校２年で微分係数を学ぶ時に直ぐ学ぶ方が良いと考える。
なぜなら、微分と積分は、ある変数値で「微分可能」な関数と、ある変数値の近くで「積分可能」な関数を選んで、微分したり積分したりするからです。「微分可能」と「積分可能」という条件が例外的な場合を考えないで良い条件となっていて、その範囲内で考えることで、例外的な場合を考える労力を節約することができるからです。
微分積分の種々の公式の前提条件として、「微分可能」と「積分可能」という条件の範囲内で考えているからです。
そういう前提条件付きで話がされているということを理解して微分積分を学ぶべきだからです。それが教えられないと、微分と積分の話の本当の事情のカヤの外で説明を聞くことになり、微分積分の説明が理解できなくなるからです。
（補足２）
なお、大学数学で学ぶ特殊な関数にδ関数がある。δ関数は超関数と呼ばれる特殊な関数で、（特殊な形の）微分が定義されている。しかし、δ関数は、x=0での値, とx≠0での値が異なり、x=0で連続ではない。すなわち、x=0では連続でないため、その点では、微分可能ではない。
（関数の増減表を書く場合：閉区間の境界での増減）
閉区間で連続な関数の増減は、閉区間の端点での様子は、片側微分で、増加か減少か、片側微分係数が０かが分かります。その片側微分でわかった結果の微分係数を括弧()の中に書いて表現する、 括弧付き表現で解答します。
上の増減表の場合では、括弧()付きの値を表に書かないと、どの様なグラフであるかが分からなくなります。
------微分可能の定義の拡張について--------------------
高校数学では、関数ｆ（ｘ）の定義域の区間の内点のみでの微分可能性が教えられている。そして、内点の両側の片側微分係数が一致することで内点の微分可能性を確認している。それを微分可能性の全ての条件と解釈すると、ａ≦ｘ≦ｂという閉区間で定義されている関数f(x) の区間の端点のｘ＝ａでは、両側の微分係数が存在しないので、端点ｘ＝ａでは”微分不可能”という結論になるが、それは正しくない。
大学生以上になると、閉区間の端点での微分可能が以下の様に定義される。
（区間の端での微分可能の定義）
閉区間で定義された関数F(x)＝ｘの区間の端では、定義2.1 で定義されたように、
大学生以上では、片側微分係数が存在すれば、
その片側微分係数を、閉区間の端点での微分係数であるとする、微分可能の正しい定義を学ぶ。（高校生には、微分可能の定義の拡張のように見える）
正しい微分可能の定義では、以下のことが成り立つ。
（関数の連続性については区間の端での連続性が定義されている）
閉区間で連続する連続関数については、定義域の区間の端点以外の内点で関数が連続である。また、閉区間の端点で片側連続であれば、端点を含めた閉区間で関数が連続であるという様に、関数の連続性が定義されている。
関数の微分可能の定義も、同様に微分可能の判別が閉区間の端点でも行える。
特に、閉区間の端点で微分ができないと、以下の問題を生じる。
例えば、変数xが閉区間[a,b]で定義されている関数f(x)を考えます。その関数f(x)を、閉区間[a,x]で積分した関数F(x)-F(a)を作ります。その関数F(x)が閉区間の端点x=aでは微分係数が計算できないとすると、関数F(x)を微分することでは、x=aでは関数f(x)が求められない事になってしまう。そのように関数f(x)とF(x)とが、x=aでは、f(x) の積分ではF(x) が得られても、F(x) の微分ではf(x) が得られないことになり、微分と積分が逆演算にはならない問題を生じる。
大学生以上では、先に定義2.1で示した、正しい微分可能の定義が使われるので、この問題が生じない。
（高校生には拡張されたように見える微分可能の定義）
定義2.1による関数F(x) の微分可能性の定義では分かりにくかったが、閉区間の端でも微分可能性が定義されていることが、大阪大学の教授が書いた「微分積分学」（難波誠）の、４４ページに明示されている。
「閉区間の端点で関数F(x)が片側微分可能であれば、その片側微分を端点での微分係数と定義している」
閉区間ａ≦ｘ≦ｂでの端点ｘ＝ａとｘ＝ｂでの微分係数が以下の式で定義されている。
（１）端点ｂ＝ｘ０におけるf(x) の微分係数は：
ｈ＜０について、
で定義される左側微分係数(left-hand derivative )
を端点ｂの微分係数と定義します。
（２）端点ａ＝ｘ０におけるf(x) の微分係数は：
ｈ＞０について、
で定義される右側微分係数(right-hand derivative)
を端点ａの微分係数と定義する。
この、閉区間の端点で、片側微分係数が存在すれば、端点でも微分可能とする微分可能の定義は、数学者の藤原松三郎の「微分積分学 第１巻」の時代からの定義であって確定して受け入れられている定義である。
閉区間で１つながりに連続な関数F(x)を閉区間の端点でも微分可能が定義されていることが、
小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」の１１２ページにも記載されている。
「閉区間の端点で関数F(x)が片側微分可能であれば、その片側微分を端点での微分係数と定義している」
定義2.1 が表す正しい微分可能の定義「閉区間の端点では、関数F(x)の微分を片側微分係数で定義する」は大学生以上で使われている。
（不定積分との関係）
０≦ｘ≦２という閉区間の定義域でのみ定義され、その定義域内で常にｆ（ｘ）＝１となる関数ｆ（ｘ）を考える。
ｆ（ｘ）の不定積分F(x)の１つは、
F(x)=ｘ
である。
この不定積分F(x)が、閉区間の端でも、この定義の片側微分によりf(0)＝１が再現できる。
F(x) がどの点でも微分可能であって、 微分してf(x) が得られるので、この不定積分F(x) ＝ｘはf(x) の原始関数である。
この閉区間の端点で微分が定義されるので、連続関数ｆ（ｘ）の不定積分Ｆ（ｘ）から逆算してｆ（ｘ）を計算できるので、
この微分の定義
「端点で関数F(x)の微分を片側微分係数で定義する」
は大学生以上で明確に把握されている。
------微分可能の定義の拡張の考察おわり------------------
【導関数の定義】
関数f(x) が，実数のある区間 Ｉ の各点で微分可能（有限の傾きを持つ）のとき
f(x) は区間 Ｉ で微分可能(differentiable on I) であるといいます．
この場合，実数の区間 Ｉ の各点にそこでの微分係数を対応させることにより定まる関数を
f(x) の導関数(derivative) といい，
であらわします。
また，関数f(x) の導関数を求めることを微分する(differentiate) といいます．
また、ｘの関数ｆ（ｘ）＝ｙの微分（導関数）を、ｙ’とも書きます。
（補足３）
ここで、以下の関数の微分係数ｆ’（１）を求める場合を考えます。
この極限に使う変数ｈ＋１をｘにして、以下の様に書いたらどうでしょうか。
この式も、間違いとは言えないと思いますが、
分母の（ｘ－１）＝ｈが正しく導入できずに、分母をｘにしてしまうかもしれない、気持ち悪さがあります。
また、この式では無く、ｘ→０の場合に微分を求める場合は、この式の場合に（ｘ－１）＝ｈを正しく導入できないで分母をｘにしてしまう、間違った計算ルールを覚えて計算したのか、ルールを間違えていないのかが採点者に判別できない、気持ちの悪さがあります。
そのため、試験問題で微分を極限で求める場合に、ｈを使わないでｘを使うと減点される可能性が高いと考えます。
（接線の定義）
連続なグラフ上に２点Ａ，Ｂを取って、その２点をその間の１点のＣに無限に近づけた時に、その２点Ａ，Ｂを通る直線が１つの直線に収束する場合に、その直線を、そのグラフの、点Ｃにおける接線と呼びます。
（注意）グラフの不連続点においては、その点における接線は考え無いことにする。その不連続点に接する直線があるかもしれないが、その点における「接線」については考え無いことにする。
（接線の定義の言い換え）
（１） ＸＹ平面上のＹ＝ｆ（ｘ）であらわすグラフの、Ｘ＝Ｘ0となる１点Ｃにおいて、
微分係数ｆ’（Ｘ0）が存在するとき、その点Ｃを通り、傾きｆ’（Ｘ0）を持つ直線が点Ｃにおける接線である。
（２） その微分係数ｆ’（Ｘ0）が存在しない（無限大になる）場合には：
そのグラフを、ＹＸ平面上のＸ＝ｇ（Ｙ）というグラフとみなして考える。そう考えた場合に、
そのグラフ上の１点Ｃ（Ｘ0，Ｙ0）において、微分係数ｄｘ／ｄＹ＝ｇ’（Ｙ0）が存在するとき（この場合は、ｇ’（Ｙ0）＝０になると思うが）、その点Ｃを通り、ＹＸ平面での傾きｄＸ／ｄＹ＝ｇ’（Ｙ0）を持つ直線が点Ｃにおける接線である。
（３） 微分係数ｆ’（Ｘ0）が存在せず、微分係数ｇ’（Ｙ0）も存在しない場合、その点Ｃにおける「接線」については考え無いことにする。その点Ｃでグラフに接する直線はあるかもしれないが、その点における「接線」は考え無いことにする。
（補足４）
「関数が x0 で微分可能（有限の値の確定した値の微分係数が存在する）」
という意味は、
「関数が、その変数 x のその値 x0 に限って、その変数 x で微分可能であれば良く、その変数 x のその他の値での関数の微分可能性は関係しない」
という意味です。
（補足５）
ｄｆ／ｄｘ＝∞
の場合は、傾きが有限で無いので、
変数ｘで微分可能ではありません。
ｄｆ／ｄｘ＝無限大
という関係が存在しても、
「微分係数（ｄｆ／ｄｘ）が存在しない」
とも言われ、微分不可能です。
それは、
ｘ＝０において、
関数ｆ（ｘ）＝１／ｘ
の値が無限大という関係が存在しても、
「ｘ＝０において関数値１／ｘが存在しない」
と言うのと同じ意味です。
下図のグラフの関数は、ｘ＝０となるＯ点では傾きが無限大なのでｘ＝０では変数ｘによる微分係数が存在せず、変数ｘで微分不可能です。
なお、このグラフは、Ｏ点でＸ＝０という直線と接します。
それは、このグラフの座標（変数）を変換して、Ｙ座標値を変数であるとみなし、グラフのＸ座標値を、関数値とみなせば、グラフの微分係数（ｄＸ／ｄＹ）＝０は存在するので、変数Ｙによるその微分係数で接線Ｘ＝０が定められるからです。
すなわち、このグラフのＹを与えるｘの関数はｘ＝０でYがｘで微分不可能ですが、この関数の逆関数の、ｘを与えるＹの関数は、変数としてのYの全ての定義域でｘがＹで微分可能です。
このように、座標系を回転させる座標変換（変数変換の一種とも言える）によって角度を変えて見ると、ある変数Ｘでは微分不能であった点が、他の変数Ｙでは微分可能に変わることがあります。
（注意）
このグラフの関数は、ｘ＝０で微分不可能ですが、以下の性質は持っています。
すなわち、
Δｘ→０の場合にΔｙ→０となる性質は持っています。
そして、このグラフは、
x1<x2の場合にf(x1)<f(x2)となる、単調増加の性質は持っています。
（注意おわり）
「微分可能」を定めた意味は、ある制限条件を定めて、その「制限条件」を外れた関数については”考えないこと”にするのが、「微分可能」という制限条件を定めたた本当の理由だと思います。
以下のグラフの関数については：
このグラフには、Ｘ＝０の点に接する「接線」が存在しませんが、
その「存在しない」の本当の意味は、
Ｘ＝０においては微分係数が存在しないので、Ｘ＝０では「接線のことを考えないことにした」のです。
その影響を受けて、このグラフにおける、Ｘ＝０で接する線については「接線では無い」と言われるようになったのだと思います。
「接線が無い」のでは無く、「微分不可能な点では接線を考えないことにした」だけなのですが、、、
実際、以下のグラフでは、X=0での微分係数が∞になり微分不可能な曲線の点にY軸に平行な接線が接する。
その場合に、その変数Xで微分不可能な点において、「接線が無い」のではなく「接線を考え無いことにした」ことが明らかです。
また、上のグラフは、ｘ＝０の点で変数ｘで微分不可能です。ところがｘ＝０の点で滑らかにつながっています。
微分のごまかし説明で、「微分可能性の定義は、滑らかにグラフがつながる点が微分可能な点である」というごまかし説明が流布されていますが、その定義は間違いですので気をつけてください。
《下図に各種の関数の集合の包含関係をまとめた》
----（滑らかなグラフと微分可能性との関係）-----
滑らかなグラフと微分可能なグラフは、次の１点のみの差がありますので、その１点のみの差を覚えておきましょう。
滑らかなグラフＹ＝ｆ（ｘ）のうち、傾きｄＹ／ｄｘが無限大になる変数ｘ＝ｘ0 の点では、そのグラフの関数ｆ（ｘ）は微分不可能です。それ以外の点では微分可能です。
また、滑らかなグラフでは、その傾きｄＹ／ｄｘが無限大になる点も含む全てのグラフが滑らかに繋がる点で接線が引けます。
----------------------------------------------------
また、Ｙを変数とした、グラフの、変数Ｙによる微分係数（ｄｘ／ｄＹ）は存在し、変数Ｙによっては微分可能ですが、それが微分可能であっても、変数ｘによる微分係数（ｄＹ／dｘ)が存在せず、変数ｘで微分不可能であることに変わりはありません。
（メモ知識）
以下の２つのグラフの関数は、いずれも、ｘ→０の極限で、微分係数（ｄＹ／ｄＸ）が無限大に発散し、ｘ＝０では微分不可能です。
（メモおわり）
【右側微分係数と左側微分係数】
なお、
f(x) がx0 で微分可能でなくても、
ｈ＜０について、
または、
ｈ＞０について、
が存在することがあります．
下の図のような場合です。
その場合，
最初の値を左側微分係数(left-hand derivative ) と いい，
で表わし，
後の値を右側微分係数(right-hand derivative) といい，
で表わします．
区間で定義された関数f(x) の区間の内点x0 においては，
と
が共に存在し，かつ両者が等しいとき に限りf(x) は内点x = x0 で微分可能となります。
------------（補足６）--------------------------
しかし、区間を定義域とする関数f(x) の区間の内点x0 では、右側微分係数と左側微分係数が一致しなければ、その点x0 では微分可能では無い（微分係数が存在しない）ということには、以下のような違和感があります。すなわち、区間の内点x0 で、右側微分係数も左側微分係数も存在するのに、両者が一致しないからといって、その点x0 を微分不可能な点と定義して良いのだろうか？と感じる違和感があるのです。
例えば、以下の図のグラフを考えてみます。
このグラフのｘ＝０でのグラフの傾きは２つありますが、そのｘ＝０での点で微分不可能と言うのは不適切だと考えます。なぜなら、そもそも、このグラフは、１つのｘの値に対して２つのｙの値を対応させている２価関数です。２つのｙの値があるので、当然に２つの微分係数があります。その２つの微分係数がたまたま同じ値のｙの点で現れたのがｘ＝０の点であるというだけです。また、この２価関数を、ｘもｙも、そして（ｘ，ｙ）の原点からの距離ｒを角度θの１価の関数と考えると、ｘ＝０での２つの傾き（ｄｙ／ｄｘ）は、θ＝π／４の場合と、θ＝－π／４の場合と、の２つの異なるθの場合における傾きと考えられます。そういう２つの微分係数が同じ（ｘ，ｙ）の点であらわれるからと言って微分不可能であると言う事はできません。
----補足６おわり----------------------
《関数の連続を前提にした、とある定理》
（とある定理）「ある点での関数の微分可能性を調べる場合に、
その点でその関数が連続である場合は、
微分係数の左側極限（真正の極限では無い）によっても左側微分係数を求めることができ、
微分係数の右側極限（真正の極限では無い）によっても右側微分係数を求めることができ、
微分係数の左側極限と微分係数の右側極限によって、微分可能性を調べることができる。」（とある定理おわり）
すなわち、左側微分係数を計算するのが面倒な場合：
ｘ＜ｘ0 における微分係数が存在し、しかも関数ｆ（ｘ）がｘ0で連続な場合は：
と計算でき、ｘ＜ｘ0 の微分係数の左側極限（真正の極限では無い）によって左側微分係数を求めることもできます。
右側微分係数についても：
ｘ＞ｘ0 における微分係数が存在し、しかも関数ｆ（ｘ）がｘ0で連続な場合は：
と計算でき、ｘ＞ｘ0 の微分係数の右側極限（真正の極限では無い）によって右側微分係数を求めることもできます。
ただし、関数ｆ（ｘ）がｘ0 で連続でない場合は、例えば下図のような場合は：
ｘ＝ｘ0≡0 の左側微分係数は、－∞ですが、
ｘ＜０の関数ｆ（ｘ）のｘ＜０における微分係数ｆ’（ｘ）は１であり、
ｘ→０－
の極限でも、１になりますので、
ｘ0が不連続点である場合に、上の「とある定理」を使うと（定理の適用違反ですが）、
ｘ＝ｘ0≡0 の左側微分係数が１であるとしてしまい、
答えを間違えます。
このように、微分するには、先ず、その点で関数が連続であることを調べる確認作業を欠かしてはいけません。その確認の後に、この「とある定理」を使ってください。
（注意）
関数の変数ｘの値毎に、関数が微分可能か可能でないかが定義されています。
関数ｆ（ｘ）が変数ｘの値ｘ０において微分可能の場合に、
関数ｆ（ｘ）が初等関数などの通常の関数の場合は、
Δｙの誤差が以下の式であらわせます。
----ビッグオー Ｏ（Δｘ２）の 定義--------
ここで、Ｏ（Δｘ２）は、以下のように定義されます。
ｘ＝ｘ０＋Δｘとする絶対値が十分小さいΔｘに対して、
ある定数Ｍがあって、
｜Δｙ－（ｄｆ／ｄｘ）Δｘ｜ ≦ ＭΔｘμ
が成り立つとき、
｜Δｙ－（ｄｆ／ｄｘ）Δｘ｜はオーダーμの無限小であると言い、
Δｙ－（ｄｆ／ｄｘ）Δｘ＝Ｏ（Δｘμ）とあらわす。
つまり、Ｏ（Δｘ２）は、ＭのΔｘ２倍程度の誤差をあらわす誤差関数です。（ΔＸ＝０の場合は、Ｏ（０）＝０と定義する）
Δｘが０に近づくと、誤差Ｏ（Δｘ２）は、Δｘよりも更に急速にＭのΔｘ２倍のオーダー（概算値）で０に近づくということをあらわしています。
----（定義おわり）---------------
全ての関数について厳密に成り立つ関係としては：
関数ｆ（ｘ）が変数ｘのある値ｘにおいて微分可能であれば、Δｘが小さくなればなる程、Δｙの誤差が、ＭのΔｘ倍よりも急速に小さくなる誤差関数（スモールオー）で表した以下の式が成り立っています。
スモールオー ｏ（Δｘ）の定義は、上の極限の式であらわされ、Δｘよりも急速に小さくなる誤差関数です。（ΔＸ＝０の場合は、ｏ（０）＝０と定義する）
Δｘが小さくなればなる程、Δｙの誤差ｏ（Δｘ）が、ＭのΔｘ倍よりも急速に小さくなるので、Δｘが十分小さいと考えれば、誤差が十分小さくなり、以下の近似式がいっそう正確に成り立つようになります。
そのため、Δｙを上の式であらわして微分を計算して良いです。
【微分不可能が微分可能に変わる例】
（注意１）関数の変数を変換すると微分不可能な点が微分可能な点に変わることがある。
下図のグラフの関数は、Ｏ点では傾きが無限大なのでｘで微分不可能です。
しかし、変数ｘを以下のグラフの関係を持つ変数ｔに変換してみます。
この変数ｔで元の関数をあらわすと以下のグラフになります。
このグラフはＯ点で、ｔで微分可能です。
このように関数の変数を変換する、変数ｘでは微分不可能だった関数の点が、変数ｔでは微分可能になる、ということが起こり得ます。
という関係があります。
有限の微分係数が存在する（微分可能）という状態は、変数を変換すると変わることがあります。
それは、微分する変数に応じる「微分可能」という条件が、
いわば、
「式を０で割り算する計算をしてはいけない」
という計算の縛りと似た意味を持つことを意味しています。
（注意２）関数の変数を変換すると微分不可能な点が微分可能な点に変わることがあるもう１つの例を考える。
下図のグラフの関数は、Ｏ点では、左側微分係数と右側微分係数が異なるのでｘで微分不可能です。
しかし、変数ｘを以下のグラフの関係を持つ変数ｔに変換してみます。
この変数ｔで元の関数をあらわすと以下のグラフになります。
このグラフはＯ点で、ｔで微分可能です。
このように関数の変数を変換すると、変数ｘでは微分不可能だった関数の点が、変数ｔでは微分可能になる、ということが起こり得ます。
（注意３）関数の変数を変換すると、接する２つグラフが接さない２つのグラフに変換される例を考える。
下の２つの関数のグラフは、Ｏ点で同じ微分係数＝０を持ち、Ｏ点で接しています。
しかし、変数ｘを以下のグラフの関係を持つ変数ｔに変換してみます。
（この関数のグラフは、ｔ＝０の点での微分係数が無限大になってしまい、ｔ＝０では微分可能ではありません）
この変数ｔで元の２つの関数をあらわすと以下の２つのグラフになります。
元の２つのグラフの変数ｘを変数ｔに変換した２つのグラフは、Ｏ点で変数ｔで微分すると異なる微分係数を持ち、Ｏ点で接さず交差しています。
変数を変換すると、このように、互いに接する２つのグラフが、接触する点での微分係数が異なる２つのグラフに変わってしまうことがあることに気をつけましょう。
すなわち、「２つの接するグラフが接点において等しい微分係数を持つ」ことが、グラフの座標変換によって変わってしまい２つのグラフの接触点での微分係数が等しく無くなることが有り得ます。
その様なおかしな事が起こる場合は、変数のその値で微分可能では無い関数を使って変数を変換すると生じ得ます。おかしな事が起こらないようにする１つの十分条件として、変数変換に使う関数を、変数のその値で「微分可能」な関数を使えば、変数がその値の部分でのグラフにはおかしな事が起こりません。
「微分可能」は、このようにおかしな事が起こらないようにする十分条件なのです。これが、「微分可能」と「微分不可能」を区別する意味だと考えます。
この「微分可能」によって、自然な直感で想像できる事がどのようにして生じ得るかの答えは、「合成関数の微分の公式」によって明らかにされますので、それまで地道に勉強を進めて欲しいと思います。
（交差している２つのグラフが、変数変換すると互いに接する２つのグラフに変わる例）
上図のように、変数ｔの関数ｆ（ｔ)とｇ（ｔ）との２つの関数値をＹ＝ｆ（ｔ）、及びＹ＝ｇ（ｔ）とする。
ｆ（ｔ）＝ｔ
ｇ（ｔ）＝ｔ／２
とする。 この場合に、上図のように、２つのグラフが、ｔＹ座標平面上では互いに交差しているだけで、接していない。
このグラフの変数ｔを以下のグラフの関数であらわす媒介変数ｘを考える。
変数ｔをこのグラフの関数であらわす媒介変数Xを使うと、
XY平面上で先の２つのグラフをあらわすと以下の図の様になる。
ｘ≧０の場合に：
関数ｆ（ｔ）＝ｘ２
関数ｇ（ｔ）＝ｘ２／２
になる。
この様にXY座標平面上では、互いに接する２つのグラフに変換されてしまった。
すなわち、接さずに単に交差しているだけの２つのグラフが、互い接するグラフに変わってしまった。
（行なって良い変数変換の条件）
ｔY座標平面上の２つのグラフがある変数値において接するか否かを調べている時に、そのように変わってしまわないようにするための、行なって良い変数ｔの媒介変数ｘへの変数変換は、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
（A)
ｄｔ／ｄｘ ≠ ０
となることが必要です。
（B)
また、その関数が”微分可能”であることも必要で、すなわち、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
ｄｔ／ｄｘ ≠ ±∞
も必要です。
なお、変数を変換する関数t=m(x)が、
dm(x)/dx≠０となるｘの連結区間では、
m(x)は単調増加関数か単調減少関数になります。
その区間の単調増加か単調減少な関数t=m(x)には逆関数x=p(t)が存在します。
特に、
ｄｔ／ｄｘ ≠ ０，
ｄｔ／ｄｘ ≠ ±∞，
が成り立つ場合には、
逆関数の微分の公式も成り立ちます。
この２つの条件を満足する関数t=m(x)で変数変換をするならば、グラフの所定の点での「微分可能」または「微分不可能」というグラフの性質が変数変換の後でも同じに維持されます。
例えば、t=m(x)=log(x)という関数は、Ｘ＝０以外の点では、この２つの条件を満足します。
そのため、この関数t=m(x)を使って変数変換するならば、Ｘ＝０以外の点では、「微分可能」と「微分不可能」という性質が変わりません。
（行なって良い変数変換の使用例）
以下の式１であらわされるグラフを考えます。
Ｙ＝ｘａ （式１） （定数 a は所定の実数）
この式１であらわされるグラフは、
グラフが滑らかである大部分の変数値ｘにおいて、
傾きが∞にならない点で、微分可能です。
この式１のグラフの微分可能性は、以下の様に変数変換して調べることもできます。
この式１を関数ｌｏｇ（ｘ）で変換すると、
ｌｏｇ（Ｙ）＝ａ＊ｌｏｇ（Ｘ） （式２）
に変換されます。
この式２を
Ｚ＝ｌｏｇ（Ｙ） （Ｚ＞０）
ｔ＝ｌｏｇ（Ｘ） （ｔ＞０）
で変数変換すると、
Ｚ＝a＊ｔ （式３） （ただし、Ｚ＞０，ｔ＞０）
が得られます。
この式３であらわされるグラフは、元の変数であらわされたグラフと、「微分可能」と「微分不可能」という性質が変わりません。
式３のグラフは「微分可能」ですので、元の式１であらわされたグラフも「微分可能」であることがわかります。
（行なって良い変数変換に関する注意）
「微分可能性」の性質を維持する変数変換の条件は、以上で説明した通りですが、その条件を満足していなくても、式を自由に関数で変換して、関数の微分係数の計算式を導きだして良いのです。０を０で割り算するような計算ルールに違反するような計算をせず正しく微分係数の計算式を導き出せれば、その計算式が得られたことが、その関数が「微分可能」であることの証明になります。
ただし、上の条件を満足せずに、微分係数の計算式を導き出せた場合でも、以下の場合には「微分可能」にはなりませんので注意が必要です。
（１）関数ｆ（ｘ）が、ｘ≧ｘ0 と、ｘ＜ｘ0 とで異なる式で定義されていて、ｘ＜ｘ0 でのｆ’（ｘ）の、ｘ→ｘ0 における値と、ｘ＞ｘ0 でのｆ’（ｘ）の、ｘ→ｘ0 における値が異なる場合、変数ｘの範囲のｘ0 ーδ＜ｘ ＜ｘ0 ＋δ の範囲における微分係数の値が１つに確定しないので、ｘ0 で微分不可能です。
（２）このように、微分可能性を、微分係数の計算式の存在によって判定しようとする場合には、変数ｘの範囲のｘ0 ーδ＜ｘ ＜ｘ0 ＋δ において全ての関数値ｆ（ｘ）をしらべることができるか否かをチェックして判定するよう注意してください。
例題2.4
f(x) = xn (n 整数) を微分してみましょう．
となります。
（解答おわり）
が得られました。
次に、以下の微分も計算してみます。
この図形を直線ｙ＝ｘに関して折り返して考えます。
こうして、
が得られました。
（微分の式の前提条件：関数が存在すること）
微分をあらわす式：
（ｄｙ／ｄｘ）は関数ｆ（ｘ）の導関数をあらわす式です。
そのため、
（ｄｙ／ｄｘ）＝（ｄｆ（ｘ）／ｄｘ）
であり、変数ｙを微分で使う場合には、
ｙ＝ｆ（ｘ）とあらわす関数ｆ（ｘ）が必ず存在することが、変数ｙを使う前提条件にあります。
関数ｆ（ｘ）が必ず存在するということは、変数ｘに対して、必ず１つの値のｙ＝ｆ（ｘ）が定まる関係（規則）が、変わらず、存在するということです。
（関数が存在しない例）
以下の関数f(x)で：
(df(x)/dx)=0となっているグラフの部分（ｙ＝０の部分）については、以下の逆関数g(y)のグラフの様に:
ｙ＝０となっているグラフの部分では、逆関数g(y)が存在しない。 そして、g(y)のｙ＝０での右側極限と左側極限が一致しない。そのため、Δｙ→０の場合にΔｘ→０とはならない。
----関数が存在しない例おわり------------------
微分の式は、定まった関数であらわされる関係が必ず存在する変数ｙとｘその他の媒介変数の間の関係をあらわす式です。
微分の計算で使う全ての変数ｙやｘやその他の媒介変数同士は、必ず、その変数を他の変数であらわす不変な関数で結ばれていることが前提にあります。
その関数はどの式であっても良いですが、計算の途中で変化することが無い、いつも変わらない関係式であることが微分の計算の前提になっています。
（微分可能な関数を選んで微分すること）
下図のグラフの関数はでこぼこしていて、でこぼこがあらゆる細部にまで在り、どの有理数のｘの位置においても微分不可能な関数の例です。
また、微分不可能な関数Ｆ（ｘ）として、連続関数であり、かつ、あらゆるところで微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数Ｆ（ｘ）などもあります。
この図の関数のように、関数が微分不可能な変数の値を判定して、変数の範囲（定義域）から除外するために、「微分」の定義を使って関数の変数を選別して、その変数の範囲の関数を微分計算の対象にします。
実際は、微分不可能な関数は、警戒しなければならないほどに多く存在するわけでは無く。数学で学んで来た、ほとんど大部分の初等関数は微分可能な関数です。
また、上のグラフのようｆ（ｘ）が微分不可能な変数の値（有理数）が無限にある関数ｆ（ｘ）であっても、積分はできます。
（ただし、あらゆるところで微分不可能な関数Ｆ（ｘ）については、その関数Ｆ（ｘ）を微分した結果の片りんさえも存在しないので、その関数Ｆ（ｘ）は何かの関数ｆ（ｘ）の積分では得られません。）
元の関数ｆ（ｘ）が連続関数等の、関数の極限が存在する関数の場合は、その関数ｆ（ｘ）を積分して得た関数Ｆ（ｘ）は微分可能な関数になります。こうして、極限が存在する関数ｆ（ｘ）の集合の要素の各関数ｆ（ｘ）を積分して関数Ｆ（ｘ）の集合を作れば、その関数の集合の要素の各関数Ｆ（ｘ)は、どれも微分可能な関数であることが保証されます。
（「リーマン積分可能」の定義）
「微分積分学入門」（横田 壽）の１２４ページから１２５ページに「リーマン積分可能」の定義が書いてあります：
（この本は書店で購入できます。）
その他に、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） \2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。
ここではドイツの数学者G.F.B. Riemann (1826-1917) によって示されたRiemann 積分につ いて学んでいきます．リーマン積分による「積分可能」の定義は、全ての種類の「積分可能」の定義の基礎になっています。
f(x) は閉区間[a, b] で定義されているとします．この閉区間[a, b] を次のような点xi(i = 1, 2, . . . , n) でn 個の小区間に分割します．
（a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn = b）
この分割をΔ で表わし， Δxi = xi − xi−1 (i = 1, 2, . . . , n) のうちで最も大きい値を|Δ| で 表わします．
いま，それぞれの小区間[xi−1, xi] のなかに任意の点ξi をとり，Riemann 和 (Riemann sum) とよばれる次の和を考えます．
このとき、
となる実数S が存在するならば，このS をf(x) の定積分(definite integral) といい， f(x) は閉区間[a, b] で積分可能(integrable) であるといいます．また，このS を次のように表わします．
つまり関数f(x) が閉区間[a, b] で積分可能であるということは，分割の仕方および点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まるということです．
この定義に従い、関数の積分可能性を以下の様にして調べることができます。
先ず小さな閉区間[a, b] を定めて、
その区間の小区間への分割の仕方および点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まる（積分可能）か否かを調べることができます。
【積分が不可能な関数】
下のグラフの関数ｆ（ｘ）のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数もあり得ます。
例えば、
ｘが有理数の場合にｆ（ｘ）＝０であって、
ｘが無理数の場合のｆ（ｘ）＝１
という、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）などです。
そういう、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）を積分して関数Ｆ（ｘ)を得た場合（もし積分できた場合）、その積分により得られた関数Ｆ（ｘ）は微分可能だろうか。
そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数ｆ（ｘ）が積分できても、その積分した関数Ｆ（ｘ）を微分した場合に、元の関数ｆ（ｘ）は（極限値が存在しないので）、微分によっては得られないと考えます。
この関数ｆ（ｘ）の変数ｘ＝ｘ１からｘ＝ｘ２までの変数ｘの閉区間をｎ等分した小区間を作り、その各小区間毎にｆ（ｘ）の値ｆ（ξ）を求めて、その値の和で積分します。
（１）その際に、 変数ｘ＝ξが全て有理数なら、ｆ（ξ）＝０になり、積分結果は０になります。
（２）一方、変数ｘ＝ξが全て無理数√２の有理数倍なら、ｆ（ξ）＝１になり、積分結果は（ｘ２－ｘ１）になります。
（３）小区間内の変数ｘの点ξの選び方によってｆ（ξ）の和による積分結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数ｆ（ｘ）は積分することができません。
なお、以下の関数Ｆ（ｘ）は微分可能ですが、それを微分して得た導関数ｆ（ｘ）に不連続点（微分不可能な点）があります。
ｘ≠０の場合：
ｘ＝０の場合： Ｆ（０）＝０，
この関数Ｆ（ｘ）はｘ≠０の場合に微分可能で、
その導関数ｆ（ｘ）は：
になり、ｘが０に近づくとー１と１の間を振動します。
この導関数が含むｃｏｓ（１／ｘ）の関数が以下のグラフであらわす形の関数になるからです。
Ｘ＝０の場合にも、Ｆ（ｘ）は微分可能で：
というように、０になります。
そのため、関数Ｆ（ｘ)は、全てのｘの値で微分可能です。
しかし、関数Ｆ（ｘ）の導関数ｆ（ｘ）は、ｘ＝０で値ｆ（０）＝０を持ちますが、ｘ＝０で不連続です。
このＦ（ｘ）のように、微分すると不連続点を持つ関数ｆ（ｘ）になるが、Ｆ（ｘ）自体は、全ての変数値で微分が可能という関数Ｆ（ｘ)があるのです。
なお、関数ｆ（ｘ）が変数ｘのある値で不連続ならば、必ずその点でｆ（ｘ）は微分不可能になります。これは、「関数が変数ｘのある値で微分可能ならば、必ずその点で連続である」と言う定理の対偶として成り立っています。
このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、変数ｘの実数のすき間がない１つながりの区間内で連続な「連続関数」 を主に扱う対象にする。また、「微分可能性」で関数の変数の定義域を微分可能な区間に制限する。そのように、扱う関数を制限します。その関数の変数ｘの区間内で、その関数に関して成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使う。そうすることで微分積分学を最大限に応用できるようになります。
（連続関数を使う利点）
変数ｘが、閉区間の、
ａ≦ｘ≦ｂ
で連続な連続関数ｆ（ｘ）の関数については、
（関数の連続性については連続性の定義が拡張されている） で説明したように、閉区間の端点での連続性の定義の修正があります。
また、大学生以上で、閉区間での端点での微分可能の定義を修正することで、
関数ｆ（ｘ）が連続な変数ｘの範囲で、関数ｆ（ｘ）が微分可能にもなり得るという、微分の概念が使い易くされています。
こうして、微分積分学は、微分可能な関数と積分可能な関数を定義して、その種の関数の間で微分したり積分をします。「微分可能」と「積分可能」という制限条件を定め、その制限条件を満足する関数を扱うのが微分積分学だと認識することがとても大切です。
その様に、「微分可能」の制限条件を定めて、その「制限条件」を外れた関数については”考えないこと”にするのが、「微分可能」を定義した本当の理由だと思います。
《下図に各種の関数の集合の包含関係をまとめた》
積分前の関数ｆ（ｘ）と、微分前の関数Ｆ（ｘ）との、変数ｘの一部の定義域での微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。
（上図で、関数ｆ２（ｘ）は、除去可能な不連続点を除去した関数です。関数Ｆ（ｘ）は、関数Ｆ（ｘ）の不連続点を除いた変数ｘの範囲でｆ（ｘ）の不定積分であるとともに、ｆ２（ｘ）の不定積分でもあります）
「微分可能」な関数と「積分可能」な関数を定義して、その種の関数の間で微分したり積分をすることが微分積分学の本質です。しかし、その本質を考える礎である一番大切な概念である「微分可能」と「積分可能」を高校２年には教えない。高校３年に至っても「積分可能」の概念を教えていないようです。
しかも、１９９７年からは、日本の高校の数学IIで面積が無定義に用いられという、数学センスを否定する蛮行が行なわれた。そして、関数ｆ（ｘ）のグラフとｘ軸で囲まれる領域の面積を，ｘ方向で微分するともとの関数ｆ（ｘ）になり、面積の微分がｆ（ｘ）となるという本末転倒なことを教えるようになった。
現在の高等学校の教科書は，積分の概念の説明を回避している。
このようなデタラメな教育では、高校生に微分積分が分からないのも無理無いと考えます。
（微分積分の教育方針）
ヨーロッパやアメリカでは、「高校で微分積分を教えるのは、直感にうったえる内容に限られ、正確な微分積分を教えられない」という理由で、微分積分は大学生に教える科目になっています。
日本の大学でも、その欧米の教育に合わせて、初めて学ぶ者に分かるように微分積分を改めて教育しているようです。
大学で使う微分積分の参考書は、高校で教える微分積分の知識を全く知らない学生に理解できるように書かれています。
しかも、大学生向けの微分積分の参考書の方が、日本の高校生向けの微分積分の参考書よりやさしく分かり易い。
高校の微分積分を勉強するなら、先ず、大学生向けの微分積分の参考書を読むことを推薦します。高校の微分・積分の教科書は分かりにくいだけで無く、間違いも含まれています。読まない方が良いのではないかと考えます。
大学生向けの参考書の、
「微分積分学入門」（横田 壽）
を読んでみることをお勧めします。
（この本は書店で購入できます。）
（しかし、同じ著者の書いた高校生向けの参考書「確実に身につく微分積分（2012年）」の１版は、内容が劣化しているのでお勧めできません。大学生向けの本物の知識の参考書「微分積分学入門（2004年）」を読んでください。）
その他に、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） \2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。
「微分積分学入門」（横田 壽）の読み方は、 ６６ページから始まる２章「微分法」の以前のページは斜め読みして、何が書いてあるらしいかを漠然と把握しておいて、２章「微分法」以降を精読することをお勧めします。読んでいるうちに知らない関数や概念が出てきたら、６６ページ以前に書いてありますので、探して、その部分を読んで理解するように勉強してください。
《位相空間論での、関数f(x) の微分可能の定義》
関数の微分可能性については、変数ｘを変数ｔに変換すると、以下の現象がおきる。
変数変換の関数：
ｘ＝ｇ(t)
また、その逆関数：
ｔ＝ｈ(x)
が、
ｄｇ(t)/ｄt＝０， となる点や、
ｄｈ(x)/ｄx＝０， となる点で、
変数がｘかｔかに依存して、微分可能か微分不可能かの関数の性質が変化することがある。
微分では、関数の独立変数の変換によってそういうことが起きるので、微分を定義するために必要な条件が、関数ｆ(x)を微分する点ａは、関数ｆ(x) の定義域の集積点である必要がある。また、微分の定義の根底を支える極限の定義に以下の条件が必要だからである。
《x がａに限りなく近づくことの定義（その１）》
古典的（基礎的）微分積分学においては、x がａに限りなく近づくとは，
点ａに収束するｘの無限数列が存在して点ａが集積点になるということと同じだと考えて良い。
すなわち、ａに収束するｘの無限数列が存在し、点ａがその無限数列の集積点であること。
そして、そのｘの値を与える数列の全てのｘの値に対して関数ｆ(x) が定義されていること。そして、そのｘの数列がａに収束するのにともなって、 f(x) が値Ｃに収束することが、x→ａでf(x)に極限値が存在するための基礎条件である。その基礎条件が、全ての、ａに収束するｘの無限数列で成り立ち、関数ｆ(x) の値が同じ値のＣに収束する場合に、ｆ(x) のａでの極限が存在する。それが、厳密な（第１の）極限の定義である。
《x がａに限りなく近づくことの定義（その２）》
また、古典的（基礎的）微分積分学のもう１つの考え方では、x がａに限りなく近づくとは，
絶対値|x−ａ| を限りなく小さくできる（そういう条件を満たす値ｘが存在する）ということと同じだと考えてもよい．
そして， f(x) が値Ｃに限りなく近づくということも
|f(x) − Ｃ| を限りなく小さくできることだと考えてもよい．
そこで，限りなく小さくできるということで考えてみると，以下の様に考えることができる。
ｘの値がａに近い全ての実数値の場合において、f(x)がf(x0)=Cに近い値になることが、x=ａでf(x)に極限値が存在することの厳密な（第２の）定義である。
（微分の定義）
関数f(x) が 定義域ｘの集積点ａで、
∀ε＞0,∃δ＞0, ｛0 ＜ |x-a| ＜ δ⇒| ( f(x)-f(a) )/(x-a) - C| ＜ε｝
が成り立つような１つの値の実数 Ｃが存在するとき、関数ｆ は x = a で微分可能であるという。このとき Ｃを x=a における 関数ｆ の微分係数といい f'(a) で表す。
リンク：
高校数学の目次
（２）
ｘ0の近傍の全ての実数のうちのｘ0 以外の実数ｘをどの様に選んでも、点（ｘ，ｆ(ｘ)）と点（ｘ0，ｆ(ｘ0)）を結んだ線分の傾きが、実数ｘのどの様な選び方でも、漏れなく、同じ有限の値に収束する（例えば、その全ての傾きの値が、確固として同じ有限の値 Ｃから微小な値 ε 以内の誤差の値に収まる）ならば、
その確固として同じ有限の値の傾きＣが微分係数である。
（３）
また、そのグラフの点を結んだ線分の傾きが一定の、有限の値の傾きＣに収束しないならば（無限大の傾きもダメ）、微分不可能である。
（４）
高校数学では、ｘ0 が、関数f(ｘ) が定義される区間の内点の場合の微分可能性だけ例示されている。しかし、ｘ0 が関数f(x) が定義される閉区間の端点の場合も、（定義2.1 で示した大学数学で）微分可能性が定義されている。
大学生になると、微分可能の定義2.1 によって、関数F(x)の端点(x=a)の微分係数をF(x)の片側微分係数で定義する。つまり、関数ｆ(x) の変数ｘの定義域が、
ａ≦ｘ≦ｂ
というように定義域が領域の境界点ａ（端点ａ）や境界点ｂ（端点ｂ）を含む場合は、
関数ｆ(x) の端点での微分可能性がチェックできる。
これについては、後で、「微分可能の定義の拡張」で説明する。
---------（言い換え終わり）-----------
（補足１）
「微分可能」という言葉は、高校３年の数Ⅲで習うが、高校２年で微分係数を学ぶ時に直ぐ学ぶ方が良いと考える。
なぜなら、微分と積分は、ある変数値で「微分可能」な関数と、ある変数値の近くで「積分可能」な関数を選んで、微分したり積分したりするからです。「微分可能」と「積分可能」という条件が例外的な場合を考えないで良い条件となっていて、その範囲内で考えることで、例外的な場合を考える労力を節約することができるからです。
微分積分の種々の公式の前提条件として、「微分可能」と「積分可能」という条件の範囲内で考えているからです。
そういう前提条件付きで話がされているということを理解して微分積分を学ぶべきだからです。それが教えられないと、微分と積分の話の本当の事情のカヤの外で説明を聞くことになり、微分積分の説明が理解できなくなるからです。
（補足２）
なお、大学数学で学ぶ特殊な関数にδ関数がある。δ関数は超関数と呼ばれる特殊な関数で、（特殊な形の）微分が定義されている。しかし、δ関数は、x=0での値, とx≠0での値が異なり、x=0で連続ではない。すなわち、x=0では連続でないため、その点では、微分可能ではない。
（関数の増減表を書く場合：閉区間の境界での増減）
閉区間で連続な関数の増減は、閉区間の端点での様子は、片側微分で、増加か減少か、片側微分係数が０かが分かります。その片側微分でわかった結果の微分係数を括弧()の中に書いて表現する、 括弧付き表現で解答します。
------微分可能の定義の拡張について--------------------
高校数学では、関数ｆ（ｘ）の定義域の区間の内点のみでの微分可能性が教えられている。そして、内点の両側の片側微分係数が一致することで内点の微分可能性を確認している。それを微分可能性の全ての条件と解釈すると、ａ≦ｘ≦ｂという閉区間で定義されている関数f(x) の区間の端点のｘ＝ａでは、両側の微分係数が存在しないので、端点ｘ＝ａでは”微分不可能”という結論になるが、それは正しくない。
大学生以上になると、閉区間の端点での微分可能が以下の様に定義される。
（区間の端での微分可能の定義）
閉区間で定義された関数F(x)＝ｘの区間の端では、定義2.1 で定義されたように、
大学生以上では、片側微分係数が存在すれば、
その片側微分係数を、閉区間の端点での微分係数であるとする、微分可能の正しい定義を学ぶ。（高校生には、微分可能の定義の拡張のように見える）
正しい微分可能の定義では、以下のことが成り立つ。
（関数の連続性については区間の端での連続性が定義されている）
閉区間で連続する連続関数については、定義域の区間の端点以外の内点で関数が連続である。また、閉区間の端点で片側連続であれば、端点を含めた閉区間で関数が連続であるという様に、関数の連続性が定義されている。
関数の微分可能の定義も、同様に微分可能の判別が閉区間の端点でも行える。
特に、閉区間の端点で微分ができないと、以下の問題を生じる。
例えば、変数xが閉区間[a,b]で定義されている関数f(x)を考えます。その関数f(x)を、閉区間[a,x]で積分した関数F(x)-F(a)を作ります。その関数F(x)が閉区間の端点x=aでは微分係数が計算できないとすると、関数F(x)を微分することでは、x=aでは関数f(x)が求められない事になってしまう。そのように関数f(x)とF(x)とが、x=aでは、f(x) の積分ではF(x) が得られても、F(x) の微分ではf(x) が得られないことになり、微分と積分が逆演算にはならない問題を生じる。
大学生以上では、先に定義2.1で示した、正しい微分可能の定義が使われるので、この問題が生じない。
（高校生には拡張されたように見える微分可能の定義）
定義2.1による関数F(x) の微分可能性の定義では分かりにくかったが、閉区間の端でも微分可能性が定義されていることが、大阪大学の教授が書いた「微分積分学」（難波誠）の、４４ページに明示されている。
「閉区間の端点で関数F(x)が片側微分可能であれば、その片側微分を端点での微分係数と定義している」
閉区間ａ≦ｘ≦ｂでの端点ｘ＝ａとｘ＝ｂでの微分係数が以下の式で定義されている。
（１）端点ｂ＝ｘ０におけるf(x) の微分係数は：
ｈ＜０について、
（２）端点ａ＝ｘ０におけるf(x) の微分係数は：
ｈ＞０について、
この、閉区間の端点で、片側微分係数が存在すれば、端点でも微分可能とする微分可能の定義は、数学者の藤原松三郎の「微分積分学 第１巻」の時代からの定義であって確定して受け入れられている定義である。
閉区間で１つながりに連続な関数F(x)を閉区間の端点でも微分可能が定義されていることが、
小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」の１１２ページにも記載されている。
「閉区間の端点で関数F(x)が片側微分可能であれば、その片側微分を端点での微分係数と定義している」
定義2.1 が表す正しい微分可能の定義「閉区間の端点では、関数F(x)の微分を片側微分係数で定義する」は大学生以上で使われている。
（不定積分との関係）
０≦ｘ≦２という閉区間の定義域でのみ定義され、その定義域内で常にｆ（ｘ）＝１となる関数ｆ（ｘ）を考える。
ｆ（ｘ）の不定積分F(x)の１つは、
F(x)=ｘ
である。
この不定積分F(x)が、閉区間の端でも、この定義の片側微分によりf(0)＝１が再現できる。
F(x) がどの点でも微分可能であって、 微分してf(x) が得られるので、この不定積分F(x) ＝ｘはf(x) の原始関数である。
この閉区間の端点で微分が定義されるので、連続関数ｆ（ｘ）の不定積分Ｆ（ｘ）から逆算してｆ（ｘ）を計算できるので、
この微分の定義
「端点で関数F(x)の微分を片側微分係数で定義する」
は大学生以上で明確に把握されている。
------微分可能の定義の拡張の考察おわり------------------
【導関数の定義】
関数f(x) が，実数のある区間 Ｉ の各点で微分可能（有限の傾きを持つ）のとき
f(x) は区間 Ｉ で微分可能(differentiable on I) であるといいます．
この場合，実数の区間 Ｉ の各点にそこでの微分係数を対応させることにより定まる関数を
f(x) の導関数(derivative) といい，
また，関数f(x) の導関数を求めることを微分する(differentiate) といいます．
また、ｘの関数ｆ（ｘ）＝ｙの微分（導関数）を、ｙ’とも書きます。
（補足３）
ここで、以下の関数の微分係数ｆ’（１）を求める場合を考えます。
分母の（ｘ－１）＝ｈが正しく導入できずに、分母をｘにしてしまうかもしれない、気持ち悪さがあります。
また、この式では無く、ｘ→０の場合に微分を求める場合は、この式の場合に（ｘ－１）＝ｈを正しく導入できないで分母をｘにしてしまう、間違った計算ルールを覚えて計算したのか、ルールを間違えていないのかが採点者に判別できない、気持ちの悪さがあります。
そのため、試験問題で微分を極限で求める場合に、ｈを使わないでｘを使うと減点される可能性が高いと考えます。
（接線の定義）
連続なグラフ上に２点Ａ，Ｂを取って、その２点をその間の１点のＣに無限に近づけた時に、その２点Ａ，Ｂを通る直線が１つの直線に収束する場合に、その直線を、そのグラフの、点Ｃにおける接線と呼びます。
（注意）グラフの不連続点においては、その点における接線は考え無いことにする。その不連続点に接する直線があるかもしれないが、その点における「接線」については考え無いことにする。
（接線の定義の言い換え）
（１） ＸＹ平面上のＹ＝ｆ（ｘ）であらわすグラフの、Ｘ＝Ｘ0となる１点Ｃにおいて、
微分係数ｆ’（Ｘ0）が存在するとき、その点Ｃを通り、傾きｆ’（Ｘ0）を持つ直線が点Ｃにおける接線である。
（２） その微分係数ｆ’（Ｘ0）が存在しない（無限大になる）場合には：
そのグラフ上の１点Ｃ（Ｘ0，Ｙ0）において、微分係数ｄｘ／ｄＹ＝ｇ’（Ｙ0）が存在するとき（この場合は、ｇ’（Ｙ0）＝０になると思うが）、その点Ｃを通り、ＹＸ平面での傾きｄＸ／ｄＹ＝ｇ’（Ｙ0）を持つ直線が点Ｃにおける接線である。
（３） 微分係数ｆ’（Ｘ0）が存在せず、微分係数ｇ’（Ｙ0）も存在しない場合、その点Ｃにおける「接線」については考え無いことにする。その点Ｃでグラフに接する直線はあるかもしれないが、その点における「接線」は考え無いことにする。
（補足４）
「関数が x0 で微分可能（有限の値の確定した値の微分係数が存在する）」
という意味は、
「関数が、その変数 x のその値 x0 に限って、その変数 x で微分可能であれば良く、その変数 x のその他の値での関数の微分可能性は関係しない」
という意味です。
（補足５）
ｄｆ／ｄｘ＝∞
の場合は、傾きが有限で無いので、
変数ｘで微分可能ではありません。
ｄｆ／ｄｘ＝無限大
という関係が存在しても、
「微分係数（ｄｆ／ｄｘ）が存在しない」
とも言われ、微分不可能です。
それは、
ｘ＝０において、
関数ｆ（ｘ）＝１／ｘ
の値が無限大という関係が存在しても、
「ｘ＝０において関数値１／ｘが存在しない」
と言うのと同じ意味です。
下図のグラフの関数は、ｘ＝０となるＯ点では傾きが無限大なのでｘ＝０では変数ｘによる微分係数が存在せず、変数ｘで微分不可能です。
それは、このグラフの座標（変数）を変換して、Ｙ座標値を変数であるとみなし、グラフのＸ座標値を、関数値とみなせば、グラフの微分係数（ｄＸ／ｄＹ）＝０は存在するので、変数Ｙによるその微分係数で接線Ｘ＝０が定められるからです。
すなわち、このグラフのＹを与えるｘの関数はｘ＝０でYがｘで微分不可能ですが、この関数の逆関数の、ｘを与えるＹの関数は、変数としてのYの全ての定義域でｘがＹで微分可能です。
このように、座標系を回転させる座標変換（変数変換の一種とも言える）によって角度を変えて見ると、ある変数Ｘでは微分不能であった点が、他の変数Ｙでは微分可能に変わることがあります。
（注意）
このグラフの関数は、ｘ＝０で微分不可能ですが、以下の性質は持っています。
Δｘ→０の場合にΔｙ→０となる性質は持っています。
そして、このグラフは、
x1<x2の場合にf(x1)<f(x2)となる、単調増加の性質は持っています。
（注意おわり）
「微分可能」を定めた意味は、ある制限条件を定めて、その「制限条件」を外れた関数については”考えないこと”にするのが、「微分可能」という制限条件を定めたた本当の理由だと思います。
以下のグラフの関数については：
その「存在しない」の本当の意味は、
Ｘ＝０においては微分係数が存在しないので、Ｘ＝０では「接線のことを考えないことにした」のです。
その影響を受けて、このグラフにおける、Ｘ＝０で接する線については「接線では無い」と言われるようになったのだと思います。
「接線が無い」のでは無く、「微分不可能な点では接線を考えないことにした」だけなのですが、、、
実際、以下のグラフでは、X=0での微分係数が∞になり微分不可能な曲線の点にY軸に平行な接線が接する。
また、上のグラフは、ｘ＝０の点で変数ｘで微分不可能です。ところがｘ＝０の点で滑らかにつながっています。
微分のごまかし説明で、「微分可能性の定義は、滑らかにグラフがつながる点が微分可能な点である」というごまかし説明が流布されていますが、その定義は間違いですので気をつけてください。
《下図に各種の関数の集合の包含関係をまとめた》
----（滑らかなグラフと微分可能性との関係）-----
滑らかなグラフと微分可能なグラフは、次の１点のみの差がありますので、その１点のみの差を覚えておきましょう。
滑らかなグラフＹ＝ｆ（ｘ）のうち、傾きｄＹ／ｄｘが無限大になる変数ｘ＝ｘ0 の点では、そのグラフの関数ｆ（ｘ）は微分不可能です。それ以外の点では微分可能です。
また、滑らかなグラフでは、その傾きｄＹ／ｄｘが無限大になる点も含む全てのグラフが滑らかに繋がる点で接線が引けます。
----------------------------------------------------
また、Ｙを変数とした、グラフの、変数Ｙによる微分係数（ｄｘ／ｄＹ）は存在し、変数Ｙによっては微分可能ですが、それが微分可能であっても、変数ｘによる微分係数（ｄＹ／dｘ)が存在せず、変数ｘで微分不可能であることに変わりはありません。
（メモ知識）
以下の２つのグラフの関数は、いずれも、ｘ→０の極限で、微分係数（ｄＹ／ｄＸ）が無限大に発散し、ｘ＝０では微分不可能です。
（メモおわり）
【右側微分係数と左側微分係数】
なお、
f(x) がx0 で微分可能でなくても、
ｈ＜０について、
ｈ＞０について、
下の図のような場合です。
最初の値を左側微分係数(left-hand derivative ) と いい，
後の値を右側微分係数(right-hand derivative) といい，
区間で定義された関数f(x) の区間の内点x0 においては，
と------------（補足６）--------------------------
しかし、区間を定義域とする関数f(x) の区間の内点x0 では、右側微分係数と左側微分係数が一致しなければ、その点x0 では微分可能では無い（微分係数が存在しない）ということには、以下のような違和感があります。すなわち、区間の内点x0 で、右側微分係数も左側微分係数も存在するのに、両者が一致しないからといって、その点x0 を微分不可能な点と定義して良いのだろうか？と感じる違和感があるのです。
例えば、以下の図のグラフを考えてみます。
----補足６おわり----------------------
《関数の連続を前提にした、とある定理》
（とある定理）「ある点での関数の微分可能性を調べる場合に、
その点でその関数が連続である場合は、
微分係数の左側極限（真正の極限では無い）によっても左側微分係数を求めることができ、
微分係数の右側極限（真正の極限では無い）によっても右側微分係数を求めることができ、
微分係数の左側極限と微分係数の右側極限によって、微分可能性を調べることができる。」（とある定理おわり）
すなわち、左側微分係数を計算するのが面倒な場合：
ｘ＜ｘ0 における微分係数が存在し、しかも関数ｆ（ｘ）がｘ0で連続な場合は：
右側微分係数についても：
ｘ＞ｘ0 における微分係数が存在し、しかも関数ｆ（ｘ）がｘ0で連続な場合は：
ただし、関数ｆ（ｘ）がｘ0 で連続でない場合は、例えば下図のような場合は：
ｘ＜０の関数ｆ（ｘ）のｘ＜０における微分係数ｆ’（ｘ）は１であり、
ｘ→０－
の極限でも、１になりますので、
ｘ0が不連続点である場合に、上の「とある定理」を使うと（定理の適用違反ですが）、
ｘ＝ｘ0≡0 の左側微分係数が１であるとしてしまい、
答えを間違えます。
このように、微分するには、先ず、その点で関数が連続であることを調べる確認作業を欠かしてはいけません。その確認の後に、この「とある定理」を使ってください。
（注意）
関数の変数ｘの値毎に、関数が微分可能か可能でないかが定義されています。
関数ｆ（ｘ）が変数ｘの値ｘ０において微分可能の場合に、
関数ｆ（ｘ）が初等関数などの通常の関数の場合は、
Δｙの誤差が以下の式であらわせます。
ここで、Ｏ（Δｘ２）は、以下のように定義されます。
ｘ＝ｘ０＋Δｘとする絶対値が十分小さいΔｘに対して、
ある定数Ｍがあって、
｜Δｙ－（ｄｆ／ｄｘ）Δｘ｜ ≦ ＭΔｘμ
が成り立つとき、
｜Δｙ－（ｄｆ／ｄｘ）Δｘ｜はオーダーμの無限小であると言い、
Δｙ－（ｄｆ／ｄｘ）Δｘ＝Ｏ（Δｘμ）とあらわす。
つまり、Ｏ（Δｘ２）は、ＭのΔｘ２倍程度の誤差をあらわす誤差関数です。（ΔＸ＝０の場合は、Ｏ（０）＝０と定義する）
Δｘが０に近づくと、誤差Ｏ（Δｘ２）は、Δｘよりも更に急速にＭのΔｘ２倍のオーダー（概算値）で０に近づくということをあらわしています。
----（定義おわり）---------------
全ての関数について厳密に成り立つ関係としては：
関数ｆ（ｘ）が変数ｘのある値ｘにおいて微分可能であれば、Δｘが小さくなればなる程、Δｙの誤差が、ＭのΔｘ倍よりも急速に小さくなる誤差関数（スモールオー）で表した以下の式が成り立っています。
Δｘが小さくなればなる程、Δｙの誤差ｏ（Δｘ）が、ＭのΔｘ倍よりも急速に小さくなるので、Δｘが十分小さいと考えれば、誤差が十分小さくなり、以下の近似式がいっそう正確に成り立つようになります。
【微分不可能が微分可能に変わる例】
（注意１）関数の変数を変換すると微分不可能な点が微分可能な点に変わることがある。
下図のグラフの関数は、Ｏ点では傾きが無限大なのでｘで微分不可能です。
このように関数の変数を変換する、変数ｘでは微分不可能だった関数の点が、変数ｔでは微分可能になる、ということが起こり得ます。
有限の微分係数が存在する（微分可能）という状態は、変数を変換すると変わることがあります。
それは、微分する変数に応じる「微分可能」という条件が、
いわば、
「式を０で割り算する計算をしてはいけない」
という計算の縛りと似た意味を持つことを意味しています。
（注意２）関数の変数を変換すると微分不可能な点が微分可能な点に変わることがあるもう１つの例を考える。
下図のグラフの関数は、Ｏ点では、左側微分係数と右側微分係数が異なるのでｘで微分不可能です。
このように関数の変数を変換すると、変数ｘでは微分不可能だった関数の点が、変数ｔでは微分可能になる、ということが起こり得ます。
（注意３）関数の変数を変換すると、接する２つグラフが接さない２つのグラフに変換される例を考える。
下の２つの関数のグラフは、Ｏ点で同じ微分係数＝０を持ち、Ｏ点で接しています。
この変数ｔで元の２つの関数をあらわすと以下の２つのグラフになります。
変数を変換すると、このように、互いに接する２つのグラフが、接触する点での微分係数が異なる２つのグラフに変わってしまうことがあることに気をつけましょう。
すなわち、「２つの接するグラフが接点において等しい微分係数を持つ」ことが、グラフの座標変換によって変わってしまい２つのグラフの接触点での微分係数が等しく無くなることが有り得ます。
その様なおかしな事が起こる場合は、変数のその値で微分可能では無い関数を使って変数を変換すると生じ得ます。おかしな事が起こらないようにする１つの十分条件として、変数変換に使う関数を、変数のその値で「微分可能」な関数を使えば、変数がその値の部分でのグラフにはおかしな事が起こりません。
「微分可能」は、このようにおかしな事が起こらないようにする十分条件なのです。これが、「微分可能」と「微分不可能」を区別する意味だと考えます。
この「微分可能」によって、自然な直感で想像できる事がどのようにして生じ得るかの答えは、「合成関数の微分の公式」によって明らかにされますので、それまで地道に勉強を進めて欲しいと思います。
（交差している２つのグラフが、変数変換すると互いに接する２つのグラフに変わる例）
ｆ（ｔ）＝ｔ
ｇ（ｔ）＝ｔ／２
とする。 この場合に、上図のように、２つのグラフが、ｔＹ座標平面上では互いに交差しているだけで、接していない。
このグラフの変数ｔを以下のグラフの関数であらわす媒介変数ｘを考える。
XY平面上で先の２つのグラフをあらわすと以下の図の様になる。
ｘ≧０の場合に：
関数ｆ（ｔ）＝ｘ２
関数ｇ（ｔ）＝ｘ２／２
になる。
すなわち、接さずに単に交差しているだけの２つのグラフが、互い接するグラフに変わってしまった。
（行なって良い変数変換の条件）
ｔY座標平面上の２つのグラフがある変数値において接するか否かを調べている時に、そのように変わってしまわないようにするための、行なって良い変数ｔの媒介変数ｘへの変数変換は、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
（A)
ｄｔ／ｄｘ ≠ ０
となることが必要です。
（B)
また、その関数が”微分可能”であることも必要で、すなわち、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
ｄｔ／ｄｘ ≠ ±∞
も必要です。
なお、変数を変換する関数t=m(x)が、
dm(x)/dx≠０となるｘの連結区間では、
m(x)は単調増加関数か単調減少関数になります。
その区間の単調増加か単調減少な関数t=m(x)には逆関数x=p(t)が存在します。
特に、
ｄｔ／ｄｘ ≠ ０，
ｄｔ／ｄｘ ≠ ±∞，
が成り立つ場合には、
逆関数の微分の公式も成り立ちます。
この２つの条件を満足する関数t=m(x)で変数変換をするならば、グラフの所定の点での「微分可能」または「微分不可能」というグラフの性質が変数変換の後でも同じに維持されます。
例えば、t=m(x)=log(x)という関数は、Ｘ＝０以外の点では、この２つの条件を満足します。
そのため、この関数t=m(x)を使って変数変換するならば、Ｘ＝０以外の点では、「微分可能」と「微分不可能」という性質が変わりません。
（行なって良い変数変換の使用例）
以下の式１であらわされるグラフを考えます。
Ｙ＝ｘａ （式１） （定数 a は所定の実数）
この式１であらわされるグラフは、
グラフが滑らかである大部分の変数値ｘにおいて、
傾きが∞にならない点で、微分可能です。
この式１のグラフの微分可能性は、以下の様に変数変換して調べることもできます。
この式１を関数ｌｏｇ（ｘ）で変換すると、
ｌｏｇ（Ｙ）＝ａ＊ｌｏｇ（Ｘ） （式２）
に変換されます。
この式２を
Ｚ＝ｌｏｇ（Ｙ） （Ｚ＞０）
ｔ＝ｌｏｇ（Ｘ） （ｔ＞０）
で変数変換すると、
Ｚ＝a＊ｔ （式３） （ただし、Ｚ＞０，ｔ＞０）
が得られます。
この式３であらわされるグラフは、元の変数であらわされたグラフと、「微分可能」と「微分不可能」という性質が変わりません。
式３のグラフは「微分可能」ですので、元の式１であらわされたグラフも「微分可能」であることがわかります。
（行なって良い変数変換に関する注意）
「微分可能性」の性質を維持する変数変換の条件は、以上で説明した通りですが、その条件を満足していなくても、式を自由に関数で変換して、関数の微分係数の計算式を導きだして良いのです。０を０で割り算するような計算ルールに違反するような計算をせず正しく微分係数の計算式を導き出せれば、その計算式が得られたことが、その関数が「微分可能」であることの証明になります。
ただし、上の条件を満足せずに、微分係数の計算式を導き出せた場合でも、以下の場合には「微分可能」にはなりませんので注意が必要です。
（１）関数ｆ（ｘ）が、ｘ≧ｘ0 と、ｘ＜ｘ0 とで異なる式で定義されていて、ｘ＜ｘ0 でのｆ’（ｘ）の、ｘ→ｘ0 における値と、ｘ＞ｘ0 でのｆ’（ｘ）の、ｘ→ｘ0 における値が異なる場合、変数ｘの範囲のｘ0 ーδ＜ｘ ＜ｘ0 ＋δ の範囲における微分係数の値が１つに確定しないので、ｘ0 で微分不可能です。
（２）このように、微分可能性を、微分係数の計算式の存在によって判定しようとする場合には、変数ｘの範囲のｘ0 ーδ＜ｘ ＜ｘ0 ＋δ において全ての関数値ｆ（ｘ）をしらべることができるか否かをチェックして判定するよう注意してください。
例題2.4
f(x) = xn (n 整数) を微分してみましょう．
（解答おわり）
次に、以下の微分も計算してみます。
（微分の式の前提条件：関数が存在すること）
微分をあらわす式：
（ｄｙ／ｄｘ）は関数ｆ（ｘ）の導関数をあらわす式です。
そのため、
（ｄｙ／ｄｘ）＝（ｄｆ（ｘ）／ｄｘ）
であり、変数ｙを微分で使う場合には、
ｙ＝ｆ（ｘ）とあらわす関数ｆ（ｘ）が必ず存在することが、変数ｙを使う前提条件にあります。
関数ｆ（ｘ）が必ず存在するということは、変数ｘに対して、必ず１つの値のｙ＝ｆ（ｘ）が定まる関係（規則）が、変わらず、存在するということです。
（関数が存在しない例）
以下の関数f(x)で：
----関数が存在しない例おわり------------------
微分の式は、定まった関数であらわされる関係が必ず存在する変数ｙとｘその他の媒介変数の間の関係をあらわす式です。
微分の計算で使う全ての変数ｙやｘやその他の媒介変数同士は、必ず、その変数を他の変数であらわす不変な関数で結ばれていることが前提にあります。
その関数はどの式であっても良いですが、計算の途中で変化することが無い、いつも変わらない関係式であることが微分の計算の前提になっています。
（微分可能な関数を選んで微分すること）
下図のグラフの関数はでこぼこしていて、でこぼこがあらゆる細部にまで在り、どの有理数のｘの位置においても微分不可能な関数の例です。
この図の関数のように、関数が微分不可能な変数の値を判定して、変数の範囲（定義域）から除外するために、「微分」の定義を使って関数の変数を選別して、その変数の範囲の関数を微分計算の対象にします。
実際は、微分不可能な関数は、警戒しなければならないほどに多く存在するわけでは無く。数学で学んで来た、ほとんど大部分の初等関数は微分可能な関数です。
また、上のグラフのようｆ（ｘ）が微分不可能な変数の値（有理数）が無限にある関数ｆ（ｘ）であっても、積分はできます。
（ただし、あらゆるところで微分不可能な関数Ｆ（ｘ）については、その関数Ｆ（ｘ）を微分した結果の片りんさえも存在しないので、その関数Ｆ（ｘ）は何かの関数ｆ（ｘ）の積分では得られません。）
元の関数ｆ（ｘ）が連続関数等の、関数の極限が存在する関数の場合は、その関数ｆ（ｘ）を積分して得た関数Ｆ（ｘ）は微分可能な関数になります。こうして、極限が存在する関数ｆ（ｘ）の集合の要素の各関数ｆ（ｘ）を積分して関数Ｆ（ｘ）の集合を作れば、その関数の集合の要素の各関数Ｆ（ｘ)は、どれも微分可能な関数であることが保証されます。
（「リーマン積分可能」の定義）
「微分積分学入門」（横田 壽）の１２４ページから１２５ページに「リーマン積分可能」の定義が書いてあります：
（この本は書店で購入できます。）
その他に、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） \2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。
ここではドイツの数学者G.F.B. Riemann (1826-1917) によって示されたRiemann 積分につ いて学んでいきます．リーマン積分による「積分可能」の定義は、全ての種類の「積分可能」の定義の基礎になっています。
f(x) は閉区間[a, b] で定義されているとします．この閉区間[a, b] を次のような点xi(i = 1, 2, . . . , n) でn 個の小区間に分割します．
この分割をΔ で表わし， Δxi = xi − xi−1 (i = 1, 2, . . . , n) のうちで最も大きい値を|Δ| で 表わします．
いま，それぞれの小区間[xi−1, xi] のなかに任意の点ξi をとり，Riemann 和 (Riemann sum) とよばれる次の和を考えます．
この定義に従い、関数の積分可能性を以下の様にして調べることができます。
先ず小さな閉区間[a, b] を定めて、
その区間の小区間への分割の仕方および点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まる（積分可能）か否かを調べることができます。
【積分が不可能な関数】
下のグラフの関数ｆ（ｘ）のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数もあり得ます。
例えば、
ｘが有理数の場合にｆ（ｘ）＝０であって、
ｘが無理数の場合のｆ（ｘ）＝１
という、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）などです。
そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数ｆ（ｘ）が積分できても、その積分した関数Ｆ（ｘ）を微分した場合に、元の関数ｆ（ｘ）は（極限値が存在しないので）、微分によっては得られないと考えます。
この関数ｆ（ｘ）の変数ｘ＝ｘ１からｘ＝ｘ２までの変数ｘの閉区間をｎ等分した小区間を作り、その各小区間毎にｆ（ｘ）の値ｆ（ξ）を求めて、その値の和で積分します。
（１）その際に、 変数ｘ＝ξが全て有理数なら、ｆ（ξ）＝０になり、積分結果は０になります。
（２）一方、変数ｘ＝ξが全て無理数√２の有理数倍なら、ｆ（ξ）＝１になり、積分結果は（ｘ２－ｘ１）になります。
（３）小区間内の変数ｘの点ξの選び方によってｆ（ξ）の和による積分結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数ｆ（ｘ）は積分することができません。
なお、以下の関数Ｆ（ｘ）は微分可能ですが、それを微分して得た導関数ｆ（ｘ）に不連続点（微分不可能な点）があります。
ｘ≠０の場合：
この関数Ｆ（ｘ）はｘ≠０の場合に微分可能で、
その導関数ｆ（ｘ）は：
この導関数が含むｃｏｓ（１／ｘ）の関数が以下のグラフであらわす形の関数になるからです。
そのため、関数Ｆ（ｘ)は、全てのｘの値で微分可能です。
しかし、関数Ｆ（ｘ）の導関数ｆ（ｘ）は、ｘ＝０で値ｆ（０）＝０を持ちますが、ｘ＝０で不連続です。
このＦ（ｘ）のように、微分すると不連続点を持つ関数ｆ（ｘ）になるが、Ｆ（ｘ）自体は、全ての変数値で微分が可能という関数Ｆ（ｘ)があるのです。
なお、関数ｆ（ｘ）が変数ｘのある値で不連続ならば、必ずその点でｆ（ｘ）は微分不可能になります。これは、「関数が変数ｘのある値で微分可能ならば、必ずその点で連続である」と言う定理の対偶として成り立っています。
このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、変数ｘの実数のすき間がない１つながりの区間内で連続な「連続関数」 を主に扱う対象にする。また、「微分可能性」で関数の変数の定義域を微分可能な区間に制限する。そのように、扱う関数を制限します。その関数の変数ｘの区間内で、その関数に関して成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使う。そうすることで微分積分学を最大限に応用できるようになります。
（連続関数を使う利点）
変数ｘが、閉区間の、
ａ≦ｘ≦ｂ
で連続な連続関数ｆ（ｘ）の関数については、
（関数の連続性については連続性の定義が拡張されている） で説明したように、閉区間の端点での連続性の定義の修正があります。
また、大学生以上で、閉区間での端点での微分可能の定義を修正することで、
関数ｆ（ｘ）が連続な変数ｘの範囲で、関数ｆ（ｘ）が微分可能にもなり得るという、微分の概念が使い易くされています。
こうして、微分積分学は、微分可能な関数と積分可能な関数を定義して、その種の関数の間で微分したり積分をします。「微分可能」と「積分可能」という制限条件を定め、その制限条件を満足する関数を扱うのが微分積分学だと認識することがとても大切です。
その様に、「微分可能」の制限条件を定めて、その「制限条件」を外れた関数については”考えないこと”にするのが、「微分可能」を定義した本当の理由だと思います。
《下図に各種の関数の集合の包含関係をまとめた》
積分前の関数ｆ（ｘ）と、微分前の関数Ｆ（ｘ）との、変数ｘの一部の定義域での微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。
「微分可能」な関数と「積分可能」な関数を定義して、その種の関数の間で微分したり積分をすることが微分積分学の本質です。しかし、その本質を考える礎である一番大切な概念である「微分可能」と「積分可能」を高校２年には教えない。高校３年に至っても「積分可能」の概念を教えていないようです。
しかも、１９９７年からは、日本の高校の数学IIで面積が無定義に用いられという、数学センスを否定する蛮行が行なわれた。そして、関数ｆ（ｘ）のグラフとｘ軸で囲まれる領域の面積を，ｘ方向で微分するともとの関数ｆ（ｘ）になり、面積の微分がｆ（ｘ）となるという本末転倒なことを教えるようになった。
現在の高等学校の教科書は，積分の概念の説明を回避している。
このようなデタラメな教育では、高校生に微分積分が分からないのも無理無いと考えます。
（微分積分の教育方針）
ヨーロッパやアメリカでは、「高校で微分積分を教えるのは、直感にうったえる内容に限られ、正確な微分積分を教えられない」という理由で、微分積分は大学生に教える科目になっています。
日本の大学でも、その欧米の教育に合わせて、初めて学ぶ者に分かるように微分積分を改めて教育しているようです。
大学で使う微分積分の参考書は、高校で教える微分積分の知識を全く知らない学生に理解できるように書かれています。
しかも、大学生向けの微分積分の参考書の方が、日本の高校生向けの微分積分の参考書よりやさしく分かり易い。
高校の微分積分を勉強するなら、先ず、大学生向けの微分積分の参考書を読むことを推薦します。高校の微分・積分の教科書は分かりにくいだけで無く、間違いも含まれています。読まない方が良いのではないかと考えます。
大学生向けの参考書の、
「微分積分学入門」（横田 壽）
を読んでみることをお勧めします。
（この本は書店で購入できます。）
（しかし、同じ著者の書いた高校生向けの参考書「確実に身につく微分積分（2012年）」の１版は、内容が劣化しているのでお勧めできません。大学生向けの本物の知識の参考書「微分積分学入門（2004年）」を読んでください。）
その他に、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） \2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。
「微分積分学入門」（横田 壽）の読み方は、 ６６ページから始まる２章「微分法」の以前のページは斜め読みして、何が書いてあるらしいかを漠然と把握しておいて、２章「微分法」以降を精読することをお勧めします。読んでいるうちに知らない関数や概念が出てきたら、６６ページ以前に書いてありますので、探して、その部分を読んで理解するように勉強してください。
《位相空間論での、関数f(x) の微分可能の定義》
関数の微分可能性については、変数ｘを変数ｔに変換すると、以下の現象がおきる。
変数変換の関数：
ｘ＝ｇ(t)
また、その逆関数：
ｔ＝ｈ(x)
が、
ｄｇ(t)/ｄt＝０， となる点や、
ｄｈ(x)/ｄx＝０， となる点で、
変数がｘかｔかに依存して、微分可能か微分不可能かの関数の性質が変化することがある。
微分では、関数の独立変数の変換によってそういうことが起きるので、微分を定義するために必要な条件が、関数ｆ(x)を微分する点ａは、関数ｆ(x) の定義域の集積点である必要がある。また、微分の定義の根底を支える極限の定義に以下の条件が必要だからである。
《x がａに限りなく近づくことの定義（その１）》
古典的（基礎的）微分積分学においては、x がａに限りなく近づくとは，
点ａに収束するｘの無限数列が存在して点ａが集積点になるということと同じだと考えて良い。
すなわち、ａに収束するｘの無限数列が存在し、点ａがその無限数列の集積点であること。
そして、そのｘの値を与える数列の全てのｘの値に対して関数ｆ(x) が定義されていること。そして、そのｘの数列がａに収束するのにともなって、 f(x) が値Ｃに収束することが、x→ａでf(x)に極限値が存在するための基礎条件である。その基礎条件が、全ての、ａに収束するｘの無限数列で成り立ち、関数ｆ(x) の値が同じ値のＣに収束する場合に、ｆ(x) のａでの極限が存在する。それが、厳密な（第１の）極限の定義である。
《x がａに限りなく近づくことの定義（その２）》
また、古典的（基礎的）微分積分学のもう１つの考え方では、x がａに限りなく近づくとは，
絶対値|x−ａ| を限りなく小さくできる（そういう条件を満たす値ｘが存在する）ということと同じだと考えてもよい．
そして， f(x) が値Ｃに限りなく近づくということも
|f(x) − Ｃ| を限りなく小さくできることだと考えてもよい．
そこで，限りなく小さくできるということで考えてみると，以下の様に考えることができる。
ｘの値がａに近い全ての実数値の場合において、f(x)がf(x0)=Cに近い値になることが、x=ａでf(x)に極限値が存在することの厳密な（第２の）定義である。
（微分の定義）
関数f(x) が 定義域ｘの集積点ａで、
∀ε＞0,∃δ＞0, ｛0 ＜ |x-a| ＜ δ⇒| ( f(x)-f(a) )/(x-a) - C| ＜ε｝
が成り立つような１つの値の実数 Ｃが存在するとき、関数ｆ は x = a で微分可能であるという。このとき Ｃを x=a における 関数ｆ の微分係数といい f'(a) で表す。
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高校数学の目次
微分積分はどうすれば勉強できるか
「微分・積分」の勉強
高校の数Ⅱで、微分・積分を学ぶようになり、その勉強がつまらなくなり数学を学ぶのをあきらめて文系に進むことにする学生が多いらしい。そうなる以前に早めに数学がつまらなくなることを見切って早々と文系に進むことに決める学生も多いらしい。
そのため、このページでは、「微分・積分」をどうすればおもしろく勉強できるかというコツを考えます。
（当ブログの結論）
高校２年生が微分積分を学習するのに適切な本は、高校生用の教科書や参考書なのでは無く、大学１年生向けの参考書：例えば：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子）
書評「素晴らしいほどわかりやすい。 高校2年の知識があれば、すらすら読める。 数学苦手な人でも、やさしくシリーズは、微積とベクトルはとっつきやすいと思うので、おすすめです。」
などだと思います。
その本は、初めて微分積分を学ぶ高校２年生にとって、内容がわかり易いです。説明が正確でごまかしが無いので、高校教科書の微分積分の説明にあるようなごまかしが納得できず（ごまかしに納得する方がおかしい）学習が止まってしまう様なことが無く、スムーズに勉強を進めることできるので良いと思います。その本の３６ページから４５ページまで勉強するだけで、微分の必須知識が学べます。
当ブログでは、先ず、勉強の順番が、
（１）極限
（２）微分
（３）積分
になっている事が、
「微分・積分」の勉強をつまらなくしていると考えます。
数学が好きでいつも数学を勉強している学生は、「微分・積分」の授業の順番には「微分・積分」を学んでいないと考えます。
数学の問題を多く解いていて、数学の問題を解く技術を磨いてきた学生は、「微分・積分」の基礎的な概念は既に考えたことがあり、その概念も利用して問題を解いている。
そして、「微分・積分」の授業に出会ったら、既に知っている自分の知識を整理するために役立てようとして授業を聞くから、「微分・積分」の勉強ができるのだと考えます。
その、既に知っている「微分・積分」の知識とは、どのようなものかを以下で考えます。
数学が好きでいつも数学を勉強している学生は、好奇心を満足させる面白いテーマの順に数学を学んで行くと思います。
面白い数学の課題を見つける都度、その課題を自分で研究するという道草を食います。その道草の１つに、基礎的な「微分・積分」の概念の修得があると思います。
そのため、以下では、その、面白い順に、微分積分を学んでいこうと思います。
（１）積分
（２）微分
（３）極限
の概念の順に学ぶのが面白く、
それを学んだら、
（４）極限の概念の精密化
（５）微分の知識の整理
（６）積分の知識の整理
を勉強するのが、勉強の順番として適切だと考えます。
（１）積分：
以下の問題を考えます。
【問題１】
なぜ、三角錐の体積Ｖは、
体積Ｖ＝底面積Ｓ×高さｈ×（１／３）
なのか。
この公式は、何とか覚えられたと思いますが、
もっと、すっきり覚える方法が無いか？
と考えたことがあると思います。
この問題は、以下の様に分析することができます。
この解に法則性があるように思われますが、
この問題は難しいので、これを解くための準備として、
この問題をもっとやさしくした以下の問題を先に解くことにします。
【問題２】
なぜ、三角形の面積Ｓは、Ｓ＝底辺Ｌ×高さｈ×（１／２）
なのか。
この問題ならば、上のような場合を考えて、解くためのヒントを見つけることができます。
この問題２で得られたヒントを拡張して、
以下の様に問題１を解析します。
【問題１（再）】
これは、以下のグラフの面積を分割して計算することに対応すると考えることができます。
（この計算で用いた２乗の数列の和の式はここをクリックした先のページにあります）
このように問題を解析することで、後は、この２次関数のグラフの面積を与える法則性を把握すれば、この種の問題が自由に解けるようになることが理解できます。
この様に、分割した要素の総計を求めてグラフの面積を計算する手法が「積分」です。
また、その計算のための法則性を整理して覚えることが「積分」を勉強するということです。
もう１つ、分割した要素の総計を求める例を追加しておきます。
《グラフの微小増分の総和がグラフの高さになる》
上の図のように、グラフの傾きにΔｘを掛け算した要素は、グラフの高さの増分Δｙです。
上図のように、
グラフの高さの増分Δｙの総計＝グラフの高さｙ
になります。
（グラフの微小部分の総和おわり）
（応用例）
分割した要素の総和を考える応用例として、下図の点Ａまでの円弧の長さ θ と、長さｔａｎθ の点Ｔまでの垂直線の長さの大小関係を、
下図の平行線で分割した微小部分の大小関係から求めます。平行線で円弧θを切った部分の長さをΔθと表します。平行線で(1,0)の点から点Tまでの、長さがtanθの垂直な線分を切った部分の長さをΔ(tanθ)と表します。
円弧 θ を平行線で分割した微小ベクトルの平行線への射影成分Ｐθ の長さよりも、垂直な線分ｔａｎθ を平行線で分割した微小ベクトルの平行線への射影成分Ｐｔ の長さの方が長い。そのため、円弧θを平行線で分割した微小ベクトルの長さΔθよりも、垂直な線分tanθを平行線で分割した微小ベクトルの長さΔ(tanθ)の方が長い。
その個々の微小ベクトルの長さの総和（積分）を考えることで、
θ ＜ｔａｎθ という大小関係が分かりました。
（応用例おわり）
（積分の特徴）
積分とは、連続した階段を登ることに似ています。
先ず、階段の１歩１歩の段差は有限でなければならない。
無限の段差の階段は登れないので、それは積分できない。
積分は有限の階段でつながっている。
ある点からある点まで積分できたならば、必ず、その点間をつなぐ道が、どこかを通って、通じている。その点をつなぐ道は目前の無限の高さの崖では無いが、他の道が必ずあるのです。
（微分積分学の歴史）
ライプニッツが、1684年に「極大と極小にかんする新しい方法」を出版して、その中で微分法を発表し、
ついで1686年に「深遠な幾何学」を出版して積分法を発表しました。
その後に、ニュートンが微分積分学を発表しました。
それに対して、旧い数学者のバークレー司教(Bishop George Berkeley)が微分積分学を攻撃した論争が微分積分学を正しく育てました。
バークレー司教は、ダブリンのトリニティ・カレッジで神学を学び、後に講義をする。アイルランド、クロインの(英国国教会の)監督Bishopとなる(1734)。
バークレー司教は、数学から唯物論を追放する目的で、『解析者―不誠実な数学者へ向けての論説』（The Analyst: or a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician, 1734）で、ニュートン・ライプニッツ理論（微分積分学）を攻撃し、大論争を引き起こす(『解析教程』第II章第1節参照)。
ド・モアブル、テイラー、マクローリン、ラグランジュ、ヤコブ・ベルヌーイ、ヨハン・ベルヌーイなどが論争に加わり、微積分学の論理的基礎づけに対する関心を高めた功績は大きい。
とくに、マクローリンは反論のためにニュートンの方法の厳密な構成を行った。
以下で、バークレー司教の微分積分学に対する感想を見てみます。
『バークレー司教：解析者より』
「しかし、速度の速度、その速度、そのまた速度、またその速度、またまたその速度などなどというのは、私が間違っているのでなければ、すべての人間の理解を越えてしまっています。
精神がこの捉え難いアイデア（微分積分学）を解析し追及すればするほど、それはまごつき狼狽えることになり.....」
『バークレー司教：解析者より』
「......我が時代の解析者（微分積分学）は有限の量の差を考えるだけでは満足しません。
彼ら（微分積分学）はさらにその差の差を考え、最初の差の差の差を考えます。 そしてさらに無限にまで。
つまり彼ら（微分積分学）は認識できる最小の量よりさらに無限に小さい量を考えます。
その無限に小さい量よりもさらに無限に小さな量を、そしてその上これまでの無限小量よりもさらに無限に小さい量を考え、終わりも限界もないのです。
......もう告白するしかありませんが、無限に小さい量を心に描くことは ......私の能力を超えています。
しかし、そのような無限に小さい量の、それよりさらに無限に小さい一部、だから結局それを無限倍したとしても最も微細な有限の量にまでなることもできない、そんなものを想像するということは、どんな人にとってもそれこそ無限に困難なことだろうと、私は思うのです。.....」
『バークレー司教：解析者より』
「そして、この流率（微分）とは何だろうか？
無限小の増分の速度。 そして、これら同じ無限小の増分の速度とは何なんだろうか？
これらは有限の量でもなく、無限に小さい量でもなく、無でもない。 こんなものなら、過ぎ去った量の幽霊と呼んではいけないというのだろうか？ 」
ニュートンとライプニッツの微分は、「無限小」の概念が十分に論理付けされていなかったため、今日のような厳密さが欠けていた。だが、微分は、力学や天文学などで応用可能、しかも実用的であったため、ベルヌーイやロピタル、オイラー、ラグランジュ、ラプラスなどの研究によって普及していった。
微分学が厳密性を伴うようになったのは、19世紀に入ってからである。仏の数学者コーシーは、1821年に発表した「解析教程」で「極限」や「無限小」、「連続関数」の概念を定義し、解析学の基礎を刷新し、その後デデキントやカントールによる実数論などを経て、今日の微分の基礎が完成した。
しかし、この、微分積分が歴史的に持っていたあいまいさとごまかしは、現在の日本の高校の微分積分の教育においては、更にごまかしが拡大されて教えられています。例えば、微分積分学の命綱が「連続関数」の概念ですが、高校数学では間違った定義が教えられています。以下で、その高校教育の実態を見ていきましょう。
連続関数の定義は1817年にBolzanoが中間値の定理を証明する前提条件に連続関数の定義が必要であることを明確にしてから、その定義が定まった。その歴史的経緯から、中間値の定理を成り立たせない関数を連続関数と呼ぶ高校数学での連続関数の定義は偽物である。なお、高校数学で定義された連続関数という言葉が使い物にならないので、大学数学では、連続関数という言葉を使わずに「区間連続」という言葉で本来の意味の連続関数をあらわすことにしています。
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】
閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）で連続な関数ｆ（ｘ）は、
その区間内で有限の値の最大値と最小値を持つ。
（ここまでが定理）
この定理は、誤った連続関数の定義と異なる、正しい連続関数の定義を前提にした定理です。そのため、この定理は、高校数学では無視することが強いられています。
高校数学では、
ｙ＝１／ｘは、ｘ＝０以外の、全ての定義域の点で連続なので「連続関数」と呼ばれています。
また、高校数学では、閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）とは、変数ｘの値の範囲を限定する式のことであるという間違いが教えられています。
その誤った知識に基づくと、
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】とは、
変数ｘの範囲（ ａ≦ｘ≦ｂ）内に関数が連続である定義域を持つ連続関数ｆ（ｘ）は、
その範囲（ ａ≦ｘ≦ｂ）内で有限の値の最大値と最小値を持つ。
（ここまでが定理）
という定理と解釈されます。
この「定理」には以下の反例があります。
関数ｆ（ｘ）＝１／ｘは、
変数ｘの範囲
－１≦ｘ≦１
内に定義域（ただしｘ≠０という定義域）が存在し、
－１≦ｘ≦１
内で定義されているどの点でも連続なので、
高校の数Ⅱで、微分・積分を学ぶようになり、その勉強がつまらなくなり数学を学ぶのをあきらめて文系に進むことにする学生が多いらしい。そうなる以前に早めに数学がつまらなくなることを見切って早々と文系に進むことに決める学生も多いらしい。
そのため、このページでは、「微分・積分」をどうすればおもしろく勉強できるかというコツを考えます。
（当ブログの結論）
高校２年生が微分積分を学習するのに適切な本は、高校生用の教科書や参考書なのでは無く、大学１年生向けの参考書：例えば：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子）
書評「素晴らしいほどわかりやすい。 高校2年の知識があれば、すらすら読める。 数学苦手な人でも、やさしくシリーズは、微積とベクトルはとっつきやすいと思うので、おすすめです。」
などだと思います。
その本は、初めて微分積分を学ぶ高校２年生にとって、内容がわかり易いです。説明が正確でごまかしが無いので、高校教科書の微分積分の説明にあるようなごまかしが納得できず（ごまかしに納得する方がおかしい）学習が止まってしまう様なことが無く、スムーズに勉強を進めることできるので良いと思います。その本の３６ページから４５ページまで勉強するだけで、微分の必須知識が学べます。
当ブログでは、先ず、勉強の順番が、
（１）極限
（２）微分
（３）積分
になっている事が、
「微分・積分」の勉強をつまらなくしていると考えます。
数学が好きでいつも数学を勉強している学生は、「微分・積分」の授業の順番には「微分・積分」を学んでいないと考えます。
数学の問題を多く解いていて、数学の問題を解く技術を磨いてきた学生は、「微分・積分」の基礎的な概念は既に考えたことがあり、その概念も利用して問題を解いている。
そして、「微分・積分」の授業に出会ったら、既に知っている自分の知識を整理するために役立てようとして授業を聞くから、「微分・積分」の勉強ができるのだと考えます。
その、既に知っている「微分・積分」の知識とは、どのようなものかを以下で考えます。
数学が好きでいつも数学を勉強している学生は、好奇心を満足させる面白いテーマの順に数学を学んで行くと思います。
面白い数学の課題を見つける都度、その課題を自分で研究するという道草を食います。その道草の１つに、基礎的な「微分・積分」の概念の修得があると思います。
そのため、以下では、その、面白い順に、微分積分を学んでいこうと思います。
（１）積分
（２）微分
（３）極限
の概念の順に学ぶのが面白く、
それを学んだら、
（４）極限の概念の精密化
（５）微分の知識の整理
（６）積分の知識の整理
を勉強するのが、勉強の順番として適切だと考えます。
（１）積分：
以下の問題を考えます。
【問題１】
なぜ、三角錐の体積Ｖは、
体積Ｖ＝底面積Ｓ×高さｈ×（１／３）
なのか。
この公式は、何とか覚えられたと思いますが、
もっと、すっきり覚える方法が無いか？
と考えたことがあると思います。
この問題は、以下の様に分析することができます。
この問題は難しいので、これを解くための準備として、
この問題をもっとやさしくした以下の問題を先に解くことにします。
【問題２】
なぜ、三角形の面積Ｓは、Ｓ＝底辺Ｌ×高さｈ×（１／２）
なのか。
この問題２で得られたヒントを拡張して、
以下の様に問題１を解析します。
【問題１（再）】
このように問題を解析することで、後は、この２次関数のグラフの面積を与える法則性を把握すれば、この種の問題が自由に解けるようになることが理解できます。
この様に、分割した要素の総計を求めてグラフの面積を計算する手法が「積分」です。
また、その計算のための法則性を整理して覚えることが「積分」を勉強するということです。
もう１つ、分割した要素の総計を求める例を追加しておきます。
《グラフの微小増分の総和がグラフの高さになる》
上図のように、
グラフの高さの増分Δｙの総計＝グラフの高さｙ
になります。
（グラフの微小部分の総和おわり）
（応用例）
分割した要素の総和を考える応用例として、下図の点Ａまでの円弧の長さ θ と、長さｔａｎθ の点Ｔまでの垂直線の長さの大小関係を、
下図の平行線で分割した微小部分の大小関係から求めます。平行線で円弧θを切った部分の長さをΔθと表します。平行線で(1,0)の点から点Tまでの、長さがtanθの垂直な線分を切った部分の長さをΔ(tanθ)と表します。
その個々の微小ベクトルの長さの総和（積分）を考えることで、
θ ＜ｔａｎθ という大小関係が分かりました。
（応用例おわり）
（積分の特徴）
積分とは、連続した階段を登ることに似ています。
先ず、階段の１歩１歩の段差は有限でなければならない。
無限の段差の階段は登れないので、それは積分できない。
積分は有限の階段でつながっている。
ある点からある点まで積分できたならば、必ず、その点間をつなぐ道が、どこかを通って、通じている。その点をつなぐ道は目前の無限の高さの崖では無いが、他の道が必ずあるのです。
（微分積分学の歴史）
ライプニッツが、1684年に「極大と極小にかんする新しい方法」を出版して、その中で微分法を発表し、
ついで1686年に「深遠な幾何学」を出版して積分法を発表しました。
その後に、ニュートンが微分積分学を発表しました。
それに対して、旧い数学者のバークレー司教(Bishop George Berkeley)が微分積分学を攻撃した論争が微分積分学を正しく育てました。
バークレー司教は、ダブリンのトリニティ・カレッジで神学を学び、後に講義をする。アイルランド、クロインの(英国国教会の)監督Bishopとなる(1734)。
バークレー司教は、数学から唯物論を追放する目的で、『解析者―不誠実な数学者へ向けての論説』（The Analyst: or a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician, 1734）で、ニュートン・ライプニッツ理論（微分積分学）を攻撃し、大論争を引き起こす(『解析教程』第II章第1節参照)。
ド・モアブル、テイラー、マクローリン、ラグランジュ、ヤコブ・ベルヌーイ、ヨハン・ベルヌーイなどが論争に加わり、微積分学の論理的基礎づけに対する関心を高めた功績は大きい。
とくに、マクローリンは反論のためにニュートンの方法の厳密な構成を行った。
以下で、バークレー司教の微分積分学に対する感想を見てみます。
『バークレー司教：解析者より』
「しかし、速度の速度、その速度、そのまた速度、またその速度、またまたその速度などなどというのは、私が間違っているのでなければ、すべての人間の理解を越えてしまっています。
精神がこの捉え難いアイデア（微分積分学）を解析し追及すればするほど、それはまごつき狼狽えることになり.....」
『バークレー司教：解析者より』
「......我が時代の解析者（微分積分学）は有限の量の差を考えるだけでは満足しません。
彼ら（微分積分学）はさらにその差の差を考え、最初の差の差の差を考えます。 そしてさらに無限にまで。
つまり彼ら（微分積分学）は認識できる最小の量よりさらに無限に小さい量を考えます。
その無限に小さい量よりもさらに無限に小さな量を、そしてその上これまでの無限小量よりもさらに無限に小さい量を考え、終わりも限界もないのです。
......もう告白するしかありませんが、無限に小さい量を心に描くことは ......私の能力を超えています。
しかし、そのような無限に小さい量の、それよりさらに無限に小さい一部、だから結局それを無限倍したとしても最も微細な有限の量にまでなることもできない、そんなものを想像するということは、どんな人にとってもそれこそ無限に困難なことだろうと、私は思うのです。.....」
『バークレー司教：解析者より』
「そして、この流率（微分）とは何だろうか？
無限小の増分の速度。 そして、これら同じ無限小の増分の速度とは何なんだろうか？
これらは有限の量でもなく、無限に小さい量でもなく、無でもない。 こんなものなら、過ぎ去った量の幽霊と呼んではいけないというのだろうか？ 」
ニュートンとライプニッツの微分は、「無限小」の概念が十分に論理付けされていなかったため、今日のような厳密さが欠けていた。だが、微分は、力学や天文学などで応用可能、しかも実用的であったため、ベルヌーイやロピタル、オイラー、ラグランジュ、ラプラスなどの研究によって普及していった。
微分学が厳密性を伴うようになったのは、19世紀に入ってからである。仏の数学者コーシーは、1821年に発表した「解析教程」で「極限」や「無限小」、「連続関数」の概念を定義し、解析学の基礎を刷新し、その後デデキントやカントールによる実数論などを経て、今日の微分の基礎が完成した。
しかし、この、微分積分が歴史的に持っていたあいまいさとごまかしは、現在の日本の高校の微分積分の教育においては、更にごまかしが拡大されて教えられています。例えば、微分積分学の命綱が「連続関数」の概念ですが、高校数学では間違った定義が教えられています。以下で、その高校教育の実態を見ていきましょう。
連続関数の定義は1817年にBolzanoが中間値の定理を証明する前提条件に連続関数の定義が必要であることを明確にしてから、その定義が定まった。その歴史的経緯から、中間値の定理を成り立たせない関数を連続関数と呼ぶ高校数学での連続関数の定義は偽物である。なお、高校数学で定義された連続関数という言葉が使い物にならないので、大学数学では、連続関数という言葉を使わずに「区間連続」という言葉で本来の意味の連続関数をあらわすことにしています。
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】
閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）で連続な関数ｆ（ｘ）は、
その区間内で有限の値の最大値と最小値を持つ。
（ここまでが定理）
この定理は、誤った連続関数の定義と異なる、正しい連続関数の定義を前提にした定理です。そのため、この定理は、高校数学では無視することが強いられています。
高校数学では、
ｙ＝１／ｘは、ｘ＝０以外の、全ての定義域の点で連続なので「連続関数」と呼ばれています。
また、高校数学では、閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）とは、変数ｘの値の範囲を限定する式のことであるという間違いが教えられています。
その誤った知識に基づくと、
【閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理】とは、
変数ｘの範囲（ ａ≦ｘ≦ｂ）内に関数が連続である定義域を持つ連続関数ｆ（ｘ）は、
その範囲（ ａ≦ｘ≦ｂ）内で有限の値の最大値と最小値を持つ。
（ここまでが定理）
という定理と解釈されます。
この「定理」には以下の反例があります。
関数ｆ（ｘ）＝１／ｘは、
変数ｘの範囲
－１≦ｘ≦１
内に定義域（ただしｘ≠０という定義域）が存在し、
－１≦ｘ≦１
内で定義されているどの点でも連続なので、
連続関数です。しかし、この連続関数ｆ（ｘ）は、
ｘ→０の近くで∞と－∞に発散するので、
有限の値の最大値と最小値を持たない。
（反例おわり）
しかし、この定理の基礎となっている正しい連続関数の定義が高校数学での連続関数の定義とは違うので、これは定理の反例にはなっていません。
（補足１）
微分と積分は，歴史的にも，数学的にも，別々に定義される． 独立して定義されたものが，結びついている。 （日本の高校の微分積分の教科書ではいちばん大切な数学の発見が，次代に伝わらない。）
【積分とは何か】
積分については，ここをクリックした先のｐｄｆファイルにある原教授の以下のコメントが大切です。
---（原教授のコメント開始）---------
積分については高校でも習ってはいるが，その基礎を突き詰めていくといろいろと困ったことがでてくる．
特に 「積分は微分の逆演算」として定義すると，「ある関数 f の積分を求めよ」という問題や「この関数の積分は定義できるか？」という問題でハタと困ってしまう．
（微分して f になるような関数がわからない場合，高校までの知識ではお手上げだ．）
この節では高校までの知識はいったん忘れて，「積分とは何か」「積分をどのように定義すべきか」か ら話を始める．
4.1 積分（定積分）の定義
ということで，まずやるべきは「与えられた関数f(x) に対して，その積分を定義すること」である．
これから見ていくように，かなり広いクラスの関数に対してその積分（定積分）を定義することができる．
定積分を通して不定積分も定義できるので，高校までの知識とのつながりがつくことになる．
・・・
積分の最も素朴な定義はこれから紹介する「リーマン和」に基づくもので、、、
---（原教授のコメントおわり）------
（補足２）
（「リーマン積分可能」の定義）
「微分積分学入門」（横田 壽）の１２４ページから１２５ページに「リーマン積分可能」の定義が書いてあります：
（この本は書店で購入できます。）
その他に、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。
ここではドイツの数学者G.F.B. Riemann (1826-1917) によって示されたRiemann 積分につ いて学んでいきます．リーマン積分による「積分可能」の定義は、全ての種類の「積分可能」の定義の基礎になっています。
f(x) は閉区間[a, b] で定義されているとします．この閉区間[a, b] を次のような点xi(i = 1, 2, . . . , n) でn 個の小区間に分割します．
（a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn = b）
この分割をΔ で表わし， Δxi = xi − xi−1 (i = 1, 2, . . . , n) のうちで最も大きい値を|Δ| で 表わします．
（注目ポイント）
高校数学で教える区分求積法では、区間を細分した部分区間のグラフの高さf(x)を求めますが、そのｘの位置が部分区間の中の特定の位置に固定されています。
その固定をしないで、どの位置のｘでのf(x)を棒グラフの高さにして計算しても良い、
というのがリーマン積分です。
いま，それぞれの小区間[xi−1, xi] のなかに任意の位置に点ξi をとり，Riemann 和 (Riemann sum) とよばれる次の和を考えます．
このとき、
となる実数S が存在するならば，このS をf(x) の定積分(definite integral) といい， f(x) は閉区間[a, b] で積分可能(integrable) であるといいます．また，このS を次のように表わします．
つまり関数f(x) が閉区間[a, b] で積分可能であるということは，分割の仕方および点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まるということです．
この定義に従い、関数の積分可能性を以下の様にして調べることができます。
先ず小さな閉区間[a, b] を定めて、
その区間の小区間への分割の仕方および点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まる（積分可能）か否かを調べることができます。
（積分が不可能な関数）
下のグラフの関数ｆ（ｘ）のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数があり得ます。
例えば、
ｘが有理数の場合にｆ（ｘ）＝０であって、
ｘが無理数の場合のｆ（ｘ）＝１
という、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）などです。
そういう、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）を積分して関数Ｆ（ｘ)を得た場合（もし積分できた場合）、その積分により得られた関数Ｆ（ｘ）は微分可能だろうか。
そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数ｆ（ｘ）が積分できても、その積分した関数Ｆ（ｘ）を微分した場合に、元の関数ｆ（ｘ）は（極限値が存在しないので）、微分によっては得られないと考えます。
上図の関数ｆ（ｘ）の変数ｘ＝ｘ１からｘ＝ｘ２までの変数ｘの閉区間をｎ等分して、その区分した部分毎にｆ（ｘ）の値ｆ（ξ）を求めて、その値の和で積分します。
（１）その際に、 変数ｘ＝ξが全て有理数なら、ｆ（ξ）＝０になり、積分結果は０になります。
（２）一方、変数ｘ＝ξが全て無理数√２の有理数倍なら、ｆ（ξ）＝１になり、積分結果は（ｘ２－ｘ１）になります。
（３）ｆ（ｘ）の値ｆ（ξ）の選び方によって結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数ｆ（ｘ）は積分することができません。
このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、連続な「連続関数」（関数ｆ（ｘ）が連続な範囲にｘの定義域を限定した１つながりに連続な関数が連続関数です）を主に扱う対象にし、また、「微分可能性」で関数の種類と、また、関数の変数ｘの定義域内の所定の範囲を定めて、その所定の範囲内だけで微分積分を行うようにします。その範囲内で成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使うことで微分積分学を最大限に応用できるようになります。
微分積分学は、微分可能な関数と積分可能な関数を定義して、その種の関数の間で微分したり積分をします。
「関数を積分して、それを微分したら元の関数に戻る」
という、微分積分学の基本定理がありますが、
その定理は、その関数ｆ（ｘ）の積分可能な部分に限り、かつ積分後の関数Ｆ（ｘ)の微分可能な部分に限って成り立つ定理です。
その定理の大前提に、何が微分可能で何が積分可能であるかの定義があります。
（微分積分学の基本定理を厳密に定義すると、「微分積分学の基本定理」という命題は、積分可能条件を記述した命題です）
（微分可能の定義が微分積分学の基本定理を左右する）
微分積分学の基本定理の根底を支えているのが微分可能の定義です。高校数学の微分可能の定義は、変数ｘが開区間(a＜x＜b)で定義された関数f(x)にしか微分可能が定義されていません。そのため、高校数学の範囲内の知識では、開区間(a＜x＜b)で定義された関数 f(x)にしか、微分積分学の基本定理が成り立ちません。
一方、大学数学では、変数ｘが閉区間（a≦x≦b）で定義された関数f(x)の区間の端点x=a,bでも微分可能が定義されています。そのため、大学数学では、閉区間（a≦x≦b）で定義された関数f(x)にも微分積分学の基本定理が成り立つと教えられています。
微分積分を学ぶ者は、「微分可能」と「積分可能」という制限条件を定め、その制限条件を満足する関数を扱うのが微分積分学だと認識することがとても大切です。
しかし、この一番大切な概念を高校２年には教えない。高校３年に至っても「積分可能」の概念を教えていないようです。
しかも、１９９７年からは、日本の高校の数学IIで面積が無定義に用いられという、数学センスを否定する蛮行が行なわれた。そして、関数ｆ（ｘ）のグラフとｘ軸で囲まれる領域の面積を，ｘ方向で微分するともとの関数ｆ（ｘ）になり、面積の微分がｆ（ｘ）となるという本末転倒なことを教えるようになった。
高校数学で教える積分の定義が、微分積分学の基本定理が使っている積分の概念と異なるものになった。それにもかかわらず、異なる概念になった「積分」を同じく積分と呼んで定理を記述して紹介しているため、高校でも教える微分積分学の基本定理が意味不明になった。
しかし、「積分」がそのように定義されるという高校の教科書の記述は嘘です。そのため、微分積分学の基本定理の存在意義があります。
そもそも、積分の概念は、日本の高校の教科書が微分の逆演算で定義しているような狭い貧弱な概念ではありません。積分の概念は、数学の研究対象を微小な部分に分割して研究し、その微小部分を集積した全体にまとめ上げて全体を考えるという、適用範囲が広い概念なのです。
「歴史的に見ても、微分より積分の方がずっと前に出現している。」
現在の高等学校の教科書は，積分の概念の説明を回避している。
数学者の吉田洋ーが以下のようになげいています。
“論証"・論証"とやかましくいっておきながら，微積のところへ来ると，とたんにいいかげんな議論でごまかしている。一ーまた高校ではごまかさざるを得ないだろう。高校数学の目的は生徒のあたまを混乱させることにあるのだろうか。
また、初めて不定積分を教わり積分定数Cを教わる際に、積分定数Cの正しい扱いを教わらず高校生の頭が混乱している様です。
高校数学において、積分定数Ｃを省略した間違った部分積分の公式が教えられています。
また、「従来から、（高校数学での）円弧の面積を使った証明方法は、循環論法であるという指摘はあったが、依然として、教科書の記述が直らないのは、高校数学の七不思議の一つである。」
積分の被積分関数の計算においては、ｘのある値で０になる関数を分母にする、すなわち、そのｘの値で０になる関数で式を割り算する計算が許されています。しかし、（大学で初めて学ぶ）広義積分を知らないと、その計算が何故許されるかが理解できません。
このようなデタラメな教育では、高校生に微分積分が分からないのも無理無いと考えます。
バークレー司教が、これを知ったら、「論外の教育だ」 と酷評すると思います。
（補足３：日本の微分積分の教育）
ヨーロッパやアメリカでは、「高校で微分積分を教えるのは、直感にうったえる内容に限られ、正確な微分積分を教えられない」という理由で、微分積分は大学生に教える科目になっています。
日本の大学でも、その欧米の教育に合わせて、初めて学ぶ者に分かるように微分積分を改めて教育しているようです。
大学で使う微分積分の参考書は、高校で教える微分積分の知識を全く知らない学生に理解できるように書かれています。
しかも、大学生向けの微分積分の参考書の方が、日本の高校生向けの微分積分の参考書よりやさしく分かり易い。
高校の微分積分を勉強するなら、先ず、大学生向けの微分積分の参考書を読むことを推薦します。高校の微分・積分の教科書は分かりにくいだけで無く、間違いも含まれています。読まない方が良いのではないかと考えます。
とりあえず、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。大学１年生向けの参考書ですが、高校の微分積分の参考書よりも分かり易い。しかも、ごまかしが無く論理が明確なので、初めて微分積分を学ぶ高校２年生が学習につまずくことが無く、一気に読めると思います。
【数学が得意になるということ】
「スタンフォード：本当の答えを見抜く力」（キース・デブリン）
に、スタンフォード大学に入学した大学生に教える「数学移行講座」の教育内容が書かれています。
数学移行講座が必要な理由は、学生が大学の数学教育についていけるようにする基本的考え方を教える必要があるからです。
「数学的能力は２つのタイプに分類できます。
最も必要とされている能力は、２つ目のタイプの能力で、
製造業などで新しい問題に取り組んで、その鍵となる特徴を認識して数学的に記述し、その数学的記述を使って問題を正確に分析することができる能力です。
数学教育では主に１つ目のタイプの人間（公式を覚えて当てはめて定型的な問題の答えを出すことができる）を育てることに力点が置かれてきましたが、結果的に２つ目のタイプの人間も育ちました。
２１世紀は、タイプ２の能力に対する需要の方が大きくなっています。
このタイプ２の人材は、
数学の箱の中ではなく、外で考えられる人材です。
「斬新な数学的思考家」と呼ぶのが良さそうです。
微分積分を学ぶ意味は、この「斬新な数学的思考家」になることにあります。
そのため、学生が「タイプ２」になることを妨害している高校生の微分積分の教科書を捨て、
正確に正しい数学を教えている本：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円
等を手に入れて、その本から微分積分を学ぶと良いと考えます。
なお、高校生になった学生は、心身ともに大人として完成する時期に入ったので、もう中学生時代のように受け身で勉強や生きる道を選択するのでは無く、自分から積極的に広く情報を集めて取捨選択して信頼できる情報を手に入れるようにして欲しいと思います。
世間に流通している情報には、誤った情報の方が多く、正しい情報が少ないです。誤った情報しか手に入らないと、誤った情報は問題解決の役に立たないので自信が無くなり、どうしても受け身で勉強する姿勢になり易いです。
正しい情報の貴重さを認識する経験を積んで欲しいと思います。そして、手に入れた正しい情報に基づいた確信と、生きる勇気を手に入れて、人生の永い道に乗り出して行って欲しいと思います。
リンク：
高校数学の目次
新型コロナウイルス感染対策
ｘ→０の近くで∞と－∞に発散するので、
有限の値の最大値と最小値を持たない。
（反例おわり）
しかし、この定理の基礎となっている正しい連続関数の定義が高校数学での連続関数の定義とは違うので、これは定理の反例にはなっていません。
（補足１）
微分と積分は，歴史的にも，数学的にも，別々に定義される． 独立して定義されたものが，結びついている。 （日本の高校の微分積分の教科書ではいちばん大切な数学の発見が，次代に伝わらない。）
【積分とは何か】
積分については，ここをクリックした先のｐｄｆファイルにある原教授の以下のコメントが大切です。
---（原教授のコメント開始）---------
積分については高校でも習ってはいるが，その基礎を突き詰めていくといろいろと困ったことがでてくる．
特に 「積分は微分の逆演算」として定義すると，「ある関数 f の積分を求めよ」という問題や「この関数の積分は定義できるか？」という問題でハタと困ってしまう．
（微分して f になるような関数がわからない場合，高校までの知識ではお手上げだ．）
この節では高校までの知識はいったん忘れて，「積分とは何か」「積分をどのように定義すべきか」か ら話を始める．
4.1 積分（定積分）の定義
ということで，まずやるべきは「与えられた関数f(x) に対して，その積分を定義すること」である．
これから見ていくように，かなり広いクラスの関数に対してその積分（定積分）を定義することができる．
定積分を通して不定積分も定義できるので，高校までの知識とのつながりがつくことになる．
・・・
積分の最も素朴な定義はこれから紹介する「リーマン和」に基づくもので、、、
---（原教授のコメントおわり）------
（補足２）
（「リーマン積分可能」の定義）
「微分積分学入門」（横田 壽）の１２４ページから１２５ページに「リーマン積分可能」の定義が書いてあります：
（この本は書店で購入できます。）
その他に、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。
ここではドイツの数学者G.F.B. Riemann (1826-1917) によって示されたRiemann 積分につ いて学んでいきます．リーマン積分による「積分可能」の定義は、全ての種類の「積分可能」の定義の基礎になっています。
f(x) は閉区間[a, b] で定義されているとします．この閉区間[a, b] を次のような点xi(i = 1, 2, . . . , n) でn 個の小区間に分割します．
この分割をΔ で表わし， Δxi = xi − xi−1 (i = 1, 2, . . . , n) のうちで最も大きい値を|Δ| で 表わします．
（注目ポイント）
高校数学で教える区分求積法では、区間を細分した部分区間のグラフの高さf(x)を求めますが、そのｘの位置が部分区間の中の特定の位置に固定されています。
その固定をしないで、どの位置のｘでのf(x)を棒グラフの高さにして計算しても良い、
というのがリーマン積分です。
いま，それぞれの小区間[xi−1, xi] のなかに任意の位置に点ξi をとり，Riemann 和 (Riemann sum) とよばれる次の和を考えます．
この定義に従い、関数の積分可能性を以下の様にして調べることができます。
先ず小さな閉区間[a, b] を定めて、
その区間の小区間への分割の仕方および点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まる（積分可能）か否かを調べることができます。
（積分が不可能な関数）
下のグラフの関数ｆ（ｘ）のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数があり得ます。
例えば、
ｘが有理数の場合にｆ（ｘ）＝０であって、
ｘが無理数の場合のｆ（ｘ）＝１
という、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）などです。
そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数ｆ（ｘ）が積分できても、その積分した関数Ｆ（ｘ）を微分した場合に、元の関数ｆ（ｘ）は（極限値が存在しないので）、微分によっては得られないと考えます。
上図の関数ｆ（ｘ）の変数ｘ＝ｘ１からｘ＝ｘ２までの変数ｘの閉区間をｎ等分して、その区分した部分毎にｆ（ｘ）の値ｆ（ξ）を求めて、その値の和で積分します。
（１）その際に、 変数ｘ＝ξが全て有理数なら、ｆ（ξ）＝０になり、積分結果は０になります。
（２）一方、変数ｘ＝ξが全て無理数√２の有理数倍なら、ｆ（ξ）＝１になり、積分結果は（ｘ２－ｘ１）になります。
（３）ｆ（ｘ）の値ｆ（ξ）の選び方によって結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数ｆ（ｘ）は積分することができません。
このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、連続な「連続関数」（関数ｆ（ｘ）が連続な範囲にｘの定義域を限定した１つながりに連続な関数が連続関数です）を主に扱う対象にし、また、「微分可能性」で関数の種類と、また、関数の変数ｘの定義域内の所定の範囲を定めて、その所定の範囲内だけで微分積分を行うようにします。その範囲内で成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使うことで微分積分学を最大限に応用できるようになります。
微分積分学は、微分可能な関数と積分可能な関数を定義して、その種の関数の間で微分したり積分をします。
「関数を積分して、それを微分したら元の関数に戻る」
という、微分積分学の基本定理がありますが、
その定理は、その関数ｆ（ｘ）の積分可能な部分に限り、かつ積分後の関数Ｆ（ｘ)の微分可能な部分に限って成り立つ定理です。
その定理の大前提に、何が微分可能で何が積分可能であるかの定義があります。
（微分積分学の基本定理を厳密に定義すると、「微分積分学の基本定理」という命題は、積分可能条件を記述した命題です）
（微分可能の定義が微分積分学の基本定理を左右する）
微分積分学の基本定理の根底を支えているのが微分可能の定義です。高校数学の微分可能の定義は、変数ｘが開区間(a＜x＜b)で定義された関数f(x)にしか微分可能が定義されていません。そのため、高校数学の範囲内の知識では、開区間(a＜x＜b)で定義された関数 f(x)にしか、微分積分学の基本定理が成り立ちません。
一方、大学数学では、変数ｘが閉区間（a≦x≦b）で定義された関数f(x)の区間の端点x=a,bでも微分可能が定義されています。そのため、大学数学では、閉区間（a≦x≦b）で定義された関数f(x)にも微分積分学の基本定理が成り立つと教えられています。
微分積分を学ぶ者は、「微分可能」と「積分可能」という制限条件を定め、その制限条件を満足する関数を扱うのが微分積分学だと認識することがとても大切です。
しかし、この一番大切な概念を高校２年には教えない。高校３年に至っても「積分可能」の概念を教えていないようです。
しかも、１９９７年からは、日本の高校の数学IIで面積が無定義に用いられという、数学センスを否定する蛮行が行なわれた。そして、関数ｆ（ｘ）のグラフとｘ軸で囲まれる領域の面積を，ｘ方向で微分するともとの関数ｆ（ｘ）になり、面積の微分がｆ（ｘ）となるという本末転倒なことを教えるようになった。
高校数学で教える積分の定義が、微分積分学の基本定理が使っている積分の概念と異なるものになった。それにもかかわらず、異なる概念になった「積分」を同じく積分と呼んで定理を記述して紹介しているため、高校でも教える微分積分学の基本定理が意味不明になった。
しかし、「積分」がそのように定義されるという高校の教科書の記述は嘘です。そのため、微分積分学の基本定理の存在意義があります。
そもそも、積分の概念は、日本の高校の教科書が微分の逆演算で定義しているような狭い貧弱な概念ではありません。積分の概念は、数学の研究対象を微小な部分に分割して研究し、その微小部分を集積した全体にまとめ上げて全体を考えるという、適用範囲が広い概念なのです。
「歴史的に見ても、微分より積分の方がずっと前に出現している。」
現在の高等学校の教科書は，積分の概念の説明を回避している。
数学者の吉田洋ーが以下のようになげいています。
“論証"・論証"とやかましくいっておきながら，微積のところへ来ると，とたんにいいかげんな議論でごまかしている。一ーまた高校ではごまかさざるを得ないだろう。高校数学の目的は生徒のあたまを混乱させることにあるのだろうか。
また、初めて不定積分を教わり積分定数Cを教わる際に、積分定数Cの正しい扱いを教わらず高校生の頭が混乱している様です。
高校数学において、積分定数Ｃを省略した間違った部分積分の公式が教えられています。
また、「従来から、（高校数学での）円弧の面積を使った証明方法は、循環論法であるという指摘はあったが、依然として、教科書の記述が直らないのは、高校数学の七不思議の一つである。」
積分の被積分関数の計算においては、ｘのある値で０になる関数を分母にする、すなわち、そのｘの値で０になる関数で式を割り算する計算が許されています。しかし、（大学で初めて学ぶ）広義積分を知らないと、その計算が何故許されるかが理解できません。
このようなデタラメな教育では、高校生に微分積分が分からないのも無理無いと考えます。
バークレー司教が、これを知ったら、「論外の教育だ」 と酷評すると思います。
（補足３：日本の微分積分の教育）
ヨーロッパやアメリカでは、「高校で微分積分を教えるのは、直感にうったえる内容に限られ、正確な微分積分を教えられない」という理由で、微分積分は大学生に教える科目になっています。
日本の大学でも、その欧米の教育に合わせて、初めて学ぶ者に分かるように微分積分を改めて教育しているようです。
大学で使う微分積分の参考書は、高校で教える微分積分の知識を全く知らない学生に理解できるように書かれています。
しかも、大学生向けの微分積分の参考書の方が、日本の高校生向けの微分積分の参考書よりやさしく分かり易い。
高校の微分積分を勉強するなら、先ず、大学生向けの微分積分の参考書を読むことを推薦します。高校の微分・積分の教科書は分かりにくいだけで無く、間違いも含まれています。読まない方が良いのではないかと考えます。
とりあえず、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。大学１年生向けの参考書ですが、高校の微分積分の参考書よりも分かり易い。しかも、ごまかしが無く論理が明確なので、初めて微分積分を学ぶ高校２年生が学習につまずくことが無く、一気に読めると思います。
【数学が得意になるということ】
「スタンフォード：本当の答えを見抜く力」（キース・デブリン）
に、スタンフォード大学に入学した大学生に教える「数学移行講座」の教育内容が書かれています。
数学移行講座が必要な理由は、学生が大学の数学教育についていけるようにする基本的考え方を教える必要があるからです。
「数学的能力は２つのタイプに分類できます。
最も必要とされている能力は、２つ目のタイプの能力で、
製造業などで新しい問題に取り組んで、その鍵となる特徴を認識して数学的に記述し、その数学的記述を使って問題を正確に分析することができる能力です。
数学教育では主に１つ目のタイプの人間（公式を覚えて当てはめて定型的な問題の答えを出すことができる）を育てることに力点が置かれてきましたが、結果的に２つ目のタイプの人間も育ちました。
２１世紀は、タイプ２の能力に対する需要の方が大きくなっています。
このタイプ２の人材は、
数学の箱の中ではなく、外で考えられる人材です。
「斬新な数学的思考家」と呼ぶのが良さそうです。
微分積分を学ぶ意味は、この「斬新な数学的思考家」になることにあります。
そのため、学生が「タイプ２」になることを妨害している高校生の微分積分の教科書を捨て、
正確に正しい数学を教えている本：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円
等を手に入れて、その本から微分積分を学ぶと良いと考えます。
なお、高校生になった学生は、心身ともに大人として完成する時期に入ったので、もう中学生時代のように受け身で勉強や生きる道を選択するのでは無く、自分から積極的に広く情報を集めて取捨選択して信頼できる情報を手に入れるようにして欲しいと思います。
世間に流通している情報には、誤った情報の方が多く、正しい情報が少ないです。誤った情報しか手に入らないと、誤った情報は問題解決の役に立たないので自信が無くなり、どうしても受け身で勉強する姿勢になり易いです。
正しい情報の貴重さを認識する経験を積んで欲しいと思います。そして、手に入れた正しい情報に基づいた確信と、生きる勇気を手に入れて、人生の永い道に乗り出して行って欲しいと思います。
リンク：
高校数学の目次
新型コロナウイルス感染対策
ベクトルの公式一覧
ベクトルが体系的に説明されている参考書：
「数学の受験教科書 ５ ベクトル」でベクトルを学ぶことができます。
《ベクトルの定義》
点ＡからＢまでの点の座標の複数の成分の移動量の集合をベクトルＡＢと呼ぶ。
また、もっと一般的には、複数の数の集合をベクトルと呼ぶ。
【ベクトルの基本的な公式(1)】
以下の公式のリストが一般的な参考書に書いてある。
【それ以外の基本的公式】
ベクトルa=(a1,a2)
に垂直なベクトルavは
av=(-a2,a1)
で求めることができる。
また、「ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く」のページにある基本的な変換技術がある。
《三角形の重心の公式》
《三角形の内心の公式》
《位置ベクトルの公式》
位置ベクトルの公式は、平面上の位置ベクトルを３つの位置ベクトルの合成であらわす場合に限られず、４つ以上の位置ベクトルの合成であらわす場合にも適用できる（垂心の位置ベクトルを外心の位置ベクトルと頂点の位置ベクトルであらわす場合）。その場合の各位置ベクトルの係数の和も１になる。
内分点の位置は、（内分の比が大きい点から遠くにあり、ベクトルの係数が大きい点に引き込まれる）と覚えれば良い。
２次元ベクトルの分解の公式の要約
三角形の面積比のベクトルの公式
《内点Ｐからの３つの（大きさが定まった）ベクトルのベクトル方程式(1)から、それらのベクトル同士の内積の値が確定して、三角形の３辺の長さが得られる》
《４つの（大きさが定まった）ベクトルのベクトル方程式(5)によっては、それらのベクトル同士の内積の値が確定しない》
《ベクトルＰと単位ベクトルの内積はベクトルＰの単位ベクトルへの正射影》
下図のＡＣベクトルが、正射影ベクトルＡＨに変換されます。
ただし、AHの方向がABの方向と反対の方向を向く場合は、上の式の右辺の項にマイナスが付きます。
〔【基本】ベクトルの内積の性質（ここをクリック）〕
《ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方》
上図の式のように、ベクトルの内積の使い方は、ベクトルの内積の分配法則を利用して使うのが最も一般的な使い方になります。
《三角形の垂心の位置ベクトル》
（三角形の頂点から垂心までのベクトル）
《ベクトルの内積の和と積の公式》
《中線定理》
《三角形の外心の位置ベクトル》
《外心を原点にした場合の垂心の位置ベクトル》
「ひし形の対角線の直交の公式」”対角線が直交する”
も基本的な公式である。
《ひし形の対角線のベクトル変換の公式》
《２重平行四辺形の面積の公式 》
《単位ベクトルの要素の２乗の差の公式》
「直交するベクトルａとａvに関する、任意のベクトルｚの合成の公式」
も、基本的な公式である。
《ベクトルの分解の公式》
点Ｂから線分ＯＡに下した垂線の足ＨまでのベクトルＯＨの公式
２等辺三角形の辺ベクトルと底辺ベクトルの内積の公式
線対称ベクトルの公式
《直線の方程式はベクトルの内積の式／点と直線の距離 》
直線の方程式は、下図で、直線ＯＮに垂直な直線上の点Ｚに係わるベクトルＯＺの、直線ＯＮ上への正射影の長さＯＨが一定になることをベクトルの内積であらわした式である。
ただし、ＯHの方向がＯＮの方向と反対の方向を向く場合は、上の式の右辺の項にマイナスが付きます。
《点と直線の距離》
《ベクトルの内積であらわされた２直線の交点》
《ベクトルの長さの比の公式》
ＢＰ／ＢＤは、水平線AC上の高さの比である。ベクトル ＢＰとベクトルＢＡとベクトルＢＣと水平線の法線ベクトルａvとの内積が同じ値である。
《三角形OABの高さベクトルh》
直線上の２点を点Ｃと点Ｚとすると、
あと、ベクトルで問題を解こうとするときに問題が解けずに挫折する場合があります。
そのときの裏技として、使うべき以下の公式があります。
「ベクトル計算での挫折を回避する方法」のページの公式
《三角形の高さｈの公式の証明の簡単さの差 》
三角形の辺のベクトルa,b,cとそれを９０°回転したベクトルａv, ｂv, ｃvの内積の以下の式が等しい。それは、三角形の面積の２倍になる。
《ベクトルの回転移動と三角関数の加法定理》
《３つの空間ベクトルが同一平面上にある条件 》
《３次元空間で点Cから三角形OABに下した垂線の足H》
《３次元空間の平面の方程式はベクトルの内積の式》
《平面の法線ベクトルｈ》
《面の法線への射影の利用（９）》
《空間図形の面と直線の交点の求め方》
《ベクトルの外積の演算テクニック》
（演算テクニック）
《べクトルの基本の解説ページへのリンク》
▷ベクトルの一次独立とは何か
▷ベクトルの定義とベクトル方程式の意味
▷ベクトルａに直交するベクトルの作り方
▷ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く
▷空間ベクトルの３つの公式
▷位置ベクトルの公式
▷分点の位置ベクトル（三角形の重心の公式）
▷ベクトル方程式で三角形の内心の位置ベクトルを求める
▷ベクトル方程式によりメネラウスの定理が導ける
▷三角形内の点Pからのベクトルの式と三角形の面積比と点Pの位置
▷ベクトルの交点の公式の解き方のバラエティ
▷空間図形の面と直線の交点を求める解き方のバラエティ
▷ベクトルＰと単位ベクトルの内積はベクトルＰの単位ベクトルへの正射影
▷ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方
▷直線の方程式はベクトルの内積の式／点と直線の距離
▷ベクトルの内積（直線の式）
▷ベクトルの内積（点と直線の距離）
▷ベクトルの直線と点との距離及びベクトルの張る三角形の面積
▷三角形の面積をベクトルで表す公式
▷三角形の面積をベクトルで分解して計算する
▷点Ｂから線分ＯＡに下した垂線の足Ｈを求める
▷三角形の高さｈの公式の証明の簡単さの差
▷三角形の高さベクトルｈの公式の要約
▷アポロニウスの円のベクトルでの証明（外サイト）
▷三角形の中線の長さの公式（中線定理）
▷三角形の中線定理のベクトルでの証明
▷三角形の角の２等分線の長さのベクトルでの解答
▷２次元ベクトルの分解の公式の要約
▷２次元ベクトルの合成の公式と分解の公式と２つのベクトルの大きさの積の三平方の定理
▷ベクトルの内積であらわされた２直線の交点
▷余弦定理に類似した公式の多さの解決策はベクトル
▷余弦定理に類似した中線の式と方ベきの定理の解答
▷余弦定理に類似した外心の高さを含む式の解答
▷余弦定理に類似した高さｈを含む式の解答
▷単位ベクトルの要素の２乗の差の公式
▷ベクトルの切替の公式
▷ひし形の対角線の直交の公式
▷２重平行四辺形の面積の公式
▷ベクトルの内積の和と積の公式
▷ベクトルの内積の和と積の公式の練習問題
▷直交した基準ベクトルを使って三角形の外心を導く
▷三角形の外接円の中心の位置ベクトルの一番簡単な計算
▷三角形の垂心の位置ベクトルの一番簡単な計算
▷外心を原点にした場合の垂心の位置ベクトル
▷ベクトルの回転移動と三角関数の加法定理
▷ベクトル方程式による極と極線
▷円の外の点Ａから引いた円への接線の接点の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法
▷ベクトル計算での挫折を回避する方法
▷放物線の２つの接線が４５°で交わる交点の軌跡
▷３つの空間ベクトルが同一平面上にある条件
▷点Cから三角形OABに下した垂線の足Hを求める
▷（１４）3次元ベクトルの外積
▷直角三角錐の面の４平方の定理とベクトルの外積
▷問題をやさしくする数学：ベクトルの外積で面の法線ベクトルを求める（１２）
▷立体図形の面の法線ベクトルの求め方のバラエティ
▷3次元ベクトルの分解の公式
▷工夫（４）空間直線の交点Pの計算
▷空間直線の交点の求め方
▷空間図形の面と直線の交点を求める解き方のバラエティ
▷直交ベクトル系を見出して解く問題
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高校数学の目次
「数学の受験教科書 ５ ベクトル」でベクトルを学ぶことができます。
《ベクトルの定義》
点ＡからＢまでの点の座標の複数の成分の移動量の集合をベクトルＡＢと呼ぶ。
また、もっと一般的には、複数の数の集合をベクトルと呼ぶ。
【ベクトルの基本的な公式(1)】
以下の公式のリストが一般的な参考書に書いてある。
【それ以外の基本的公式】
ベクトルa=(a1,a2)
に垂直なベクトルavは
av=(-a2,a1)
で求めることができる。
また、「ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く」のページにある基本的な変換技術がある。
《三角形の重心の公式》
《三角形の内心の公式》
《位置ベクトルの公式》
位置ベクトルの公式は、平面上の位置ベクトルを３つの位置ベクトルの合成であらわす場合に限られず、４つ以上の位置ベクトルの合成であらわす場合にも適用できる（垂心の位置ベクトルを外心の位置ベクトルと頂点の位置ベクトルであらわす場合）。その場合の各位置ベクトルの係数の和も１になる。
内分点の位置は、（内分の比が大きい点から遠くにあり、ベクトルの係数が大きい点に引き込まれる）と覚えれば良い。
２次元ベクトルの分解の公式の要約
三角形の面積比のベクトルの公式
《内点Ｐからの３つの（大きさが定まった）ベクトルのベクトル方程式(1)から、それらのベクトル同士の内積の値が確定して、三角形の３辺の長さが得られる》
《４つの（大きさが定まった）ベクトルのベクトル方程式(5)によっては、それらのベクトル同士の内積の値が確定しない》
《ベクトルＰと単位ベクトルの内積はベクトルＰの単位ベクトルへの正射影》
下図のＡＣベクトルが、正射影ベクトルＡＨに変換されます。
ただし、AHの方向がABの方向と反対の方向を向く場合は、上の式の右辺の項にマイナスが付きます。
〔【基本】ベクトルの内積の性質（ここをクリック）〕
《ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方》
上図の式のように、ベクトルの内積の使い方は、ベクトルの内積の分配法則を利用して使うのが最も一般的な使い方になります。
《三角形の垂心の位置ベクトル》
（三角形の頂点から垂心までのベクトル）
《ベクトルの内積の和と積の公式》
《中線定理》
《三角形の外心の位置ベクトル》
《外心を原点にした場合の垂心の位置ベクトル》
「ひし形の対角線の直交の公式」”対角線が直交する”
も基本的な公式である。
《ひし形の対角線のベクトル変換の公式》
《２重平行四辺形の面積の公式 》
《単位ベクトルの要素の２乗の差の公式》
「直交するベクトルａとａvに関する、任意のベクトルｚの合成の公式」
も、基本的な公式である。
《ベクトルの分解の公式》
点Ｂから線分ＯＡに下した垂線の足ＨまでのベクトルＯＨの公式
２等辺三角形の辺ベクトルと底辺ベクトルの内積の公式
線対称ベクトルの公式
《直線の方程式はベクトルの内積の式／点と直線の距離 》
直線の方程式は、下図で、直線ＯＮに垂直な直線上の点Ｚに係わるベクトルＯＺの、直線ＯＮ上への正射影の長さＯＨが一定になることをベクトルの内積であらわした式である。
ただし、ＯHの方向がＯＮの方向と反対の方向を向く場合は、上の式の右辺の項にマイナスが付きます。
《点と直線の距離》
《ベクトルの内積であらわされた２直線の交点》
《ベクトルの長さの比の公式》
ＢＰ／ＢＤは、水平線AC上の高さの比である。ベクトル ＢＰとベクトルＢＡとベクトルＢＣと水平線の法線ベクトルａvとの内積が同じ値である。
《三角形OABの高さベクトルh》
直線上の２点を点Ｃと点Ｚとすると、
あと、ベクトルで問題を解こうとするときに問題が解けずに挫折する場合があります。
そのときの裏技として、使うべき以下の公式があります。
「ベクトル計算での挫折を回避する方法」のページの公式
《三角形の高さｈの公式の証明の簡単さの差 》
三角形の辺のベクトルa,b,cとそれを９０°回転したベクトルａv, ｂv, ｃvの内積の以下の式が等しい。それは、三角形の面積の２倍になる。
《ベクトルの回転移動と三角関数の加法定理》
《３つの空間ベクトルが同一平面上にある条件 》
《３次元空間で点Cから三角形OABに下した垂線の足H》
《３次元空間の平面の方程式はベクトルの内積の式》
《平面の法線ベクトルｈ》
《面の法線への射影の利用（９）》
《空間図形の面と直線の交点の求め方》
《ベクトルの外積の演算テクニック》
（演算テクニック）
《べクトルの基本の解説ページへのリンク》
▷ベクトルの一次独立とは何か
▷ベクトルの定義とベクトル方程式の意味
▷ベクトルａに直交するベクトルの作り方
▷ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く
▷空間ベクトルの３つの公式
▷位置ベクトルの公式
▷分点の位置ベクトル（三角形の重心の公式）
▷ベクトル方程式で三角形の内心の位置ベクトルを求める
▷ベクトル方程式によりメネラウスの定理が導ける
▷三角形内の点Pからのベクトルの式と三角形の面積比と点Pの位置
▷ベクトルの交点の公式の解き方のバラエティ
▷空間図形の面と直線の交点を求める解き方のバラエティ
▷ベクトルＰと単位ベクトルの内積はベクトルＰの単位ベクトルへの正射影
▷ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方
▷直線の方程式はベクトルの内積の式／点と直線の距離
▷ベクトルの内積（直線の式）
▷ベクトルの内積（点と直線の距離）
▷ベクトルの直線と点との距離及びベクトルの張る三角形の面積
▷三角形の面積をベクトルで表す公式
▷三角形の面積をベクトルで分解して計算する
▷点Ｂから線分ＯＡに下した垂線の足Ｈを求める
▷三角形の高さｈの公式の証明の簡単さの差
▷三角形の高さベクトルｈの公式の要約
▷アポロニウスの円のベクトルでの証明（外サイト）
▷三角形の中線の長さの公式（中線定理）
▷三角形の中線定理のベクトルでの証明
▷三角形の角の２等分線の長さのベクトルでの解答
▷２次元ベクトルの分解の公式の要約
▷２次元ベクトルの合成の公式と分解の公式と２つのベクトルの大きさの積の三平方の定理
▷ベクトルの内積であらわされた２直線の交点
▷余弦定理に類似した公式の多さの解決策はベクトル
▷余弦定理に類似した中線の式と方ベきの定理の解答
▷余弦定理に類似した外心の高さを含む式の解答
▷余弦定理に類似した高さｈを含む式の解答
▷単位ベクトルの要素の２乗の差の公式
▷ベクトルの切替の公式
▷ひし形の対角線の直交の公式
▷２重平行四辺形の面積の公式
▷ベクトルの内積の和と積の公式
▷ベクトルの内積の和と積の公式の練習問題
▷直交した基準ベクトルを使って三角形の外心を導く
▷三角形の外接円の中心の位置ベクトルの一番簡単な計算
▷三角形の垂心の位置ベクトルの一番簡単な計算
▷外心を原点にした場合の垂心の位置ベクトル
▷ベクトルの回転移動と三角関数の加法定理
▷ベクトル方程式による極と極線
▷円の外の点Ａから引いた円への接線の接点の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法
▷ベクトル計算での挫折を回避する方法
▷放物線の２つの接線が４５°で交わる交点の軌跡
▷３つの空間ベクトルが同一平面上にある条件
▷点Cから三角形OABに下した垂線の足Hを求める
▷（１４）3次元ベクトルの外積
▷直角三角錐の面の４平方の定理とベクトルの外積
▷問題をやさしくする数学：ベクトルの外積で面の法線ベクトルを求める（１２）
▷立体図形の面の法線ベクトルの求め方のバラエティ
▷3次元ベクトルの分解の公式
▷工夫（４）空間直線の交点Pの計算
▷空間直線の交点の求め方
▷空間図形の面と直線の交点を求める解き方のバラエティ
▷直交ベクトル系を見出して解く問題
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